Caractérisation d'une composition nulle avec image et noyau
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
Soient
trois
-espaces vectoriels,
et soient
et
.
Démontrer que
![\[g\circ f=0\iff \textrm{Im}f\subset\ker g.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0/5.png)




Démontrer que
![\[g\circ f=0\iff \textrm{Im}f\subset\ker g.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0/5.png)
Correction
.
Soit alors
,
c'est-à-dire qu'il existe
tel que
.
On a donc
,
d'où
et on a donc obtenu que
.
Réciproquement, supposons que
.
Soit alors
, alors, par définition
et donc,
par hypothèse
,
c'est-à-dire
,
ou encore, ceci étant valable pour tout
,
.
Correction
Supposons
Soit alors



On a donc



Réciproquement, supposons que

Soit alors






Tag:Applications linéaires
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