Caractérisation d'une composition nulle avec image et noyau


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soient $E,F,G$ trois $\mathbb K$-espaces vectoriels, et soient $f\in\mathcal L(E,F)$ et $g\in\mathcal L(F,G)$.
Démontrer que
\[g\circ f=0\iff \textrm{Im}f\subset\ker g.\]




Correction

Correction

Supposons $g\circ f=0$.
Soit alors $y\in\text{Im}(f)$, c'est-à-dire qu'il existe $x\in E$ tel que $y=f(x)$.
On a donc $g(y)=g(f(x))=(g\circ f)(x)=0$, d'où $y\in\ker(f)$ et on a donc obtenu que $\textrm{Im}f\subset\ker g$.

Réciproquement, supposons que $\textrm{Im}f\subset\ker g$.
Soit alors $x\in E$, alors, par définition $f(x)\in\text{Im}(f)$ et donc, par hypothèse $f(x)\in\ker(g)$, c'est-à-dire $g(f(x))=0$, ou encore, ceci étant valable pour tout $x\in E$, $g\circ f=0$.


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