Caractérisation d'une composition nulle avec image et noyau
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
Soient
trois
-espaces vectoriels,
et soient
et
.
Démontrer que
![\[g\circ f=0\iff \textrm{Im}f\subset\ker g.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0/5.png)
![$E,F,G$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0/1.png)
![$\mathbb K$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0/2.png)
![$f\in\mathcal L(E,F)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0/3.png)
![$g\in\mathcal L(F,G)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0/4.png)
Démontrer que
![\[g\circ f=0\iff \textrm{Im}f\subset\ker g.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0/5.png)
Correction
.
Soit alors
,
c'est-à-dire qu'il existe
tel que
.
On a donc
,
d'où
et on a donc obtenu que
.
Réciproquement, supposons que
.
Soit alors
, alors, par définition
et donc,
par hypothèse
,
c'est-à-dire
,
ou encore, ceci étant valable pour tout
,
.
Correction
Supposons![$g\circ f=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/1.png)
Soit alors
![$y\in\text{Im}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/2.png)
![$x\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/3.png)
![$y=f(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/4.png)
On a donc
![$g(y)=g(f(x))=(g\circ f)(x)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/5.png)
![$y\in\ker(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/6.png)
![$\textrm{Im}f\subset\ker g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/7.png)
Réciproquement, supposons que
![$\textrm{Im}f\subset\ker g$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/8.png)
Soit alors
![$x\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/9.png)
![$f(x)\in\text{Im}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/10.png)
![$f(x)\in\ker(g)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/11.png)
![$g(f(x))=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/12.png)
![$x\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/13.png)
![$g\circ f=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL0_c/14.png)
Tag:Applications linéaires
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