Fonction composée avec arctan
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Étudier la fonction définie par l'expression
.
Exprimer en fonction de sur .
Exprimer en fonction de sur .
Correction
est définie sur , donc est définie sur .
On a , avec , donc , soit, pour tout ,
Comme pour tout réel, (le discriminant du trinôme est ), et que le dénominateur est unes somme de deux carrés donc positif aussi, on en déduit que et donc que est décroissante sur .
D'autre part, si , alors
On peur alors remarquer que , et donc que .
Ainsi, , .
Sur , , et donc .
Correction
.est définie sur , donc est définie sur .
On a , avec , donc , soit, pour tout ,
Comme pour tout réel, (le discriminant du trinôme est ), et que le dénominateur est unes somme de deux carrés donc positif aussi, on en déduit que et donc que est décroissante sur .
D'autre part, si , alors
On peur alors remarquer que , et donc que .
Ainsi, , .
Sur , , et donc .
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