Fonction composée avec arctan

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)

Énoncé du sujet

Étudier la fonction

définie par l'expression $f(x)=\arctan\dfrac{2(1-x)}{2x-x^2}$ .
Exprimer

en fonction de $\arctan(x-1)$ sur

Correction

$f(x)=\arctan\dfrac{2(1-x)}{2x-x^2}$ .
$\arctan$ est définie sur $\R$ , donc

est définie sur $D_f=\R\setminus\la0;2\ra$ .
On a $f=\arctan(u)$ , avec $u=\dfrac{v}{w}$ , donc $f'=u'\tm\dfrac{1}{1+u^2}$ , soit, pour tout $x\in D$ ,

$\begin{array}{ll} f'(x)&=\dfrac{-2(2x-x^2)-2(1-x)(2-2x)}{(2x-x^2)^2} \tm\dfrac{1}{1+\lp\dfrac{2(1-x)}{2x-x^2}\rp^2}\\ &=\dfrac{-2x^2+4x-4}{(2x-x^2)^2} \tm\dfrac{{(2x-x^2)^2}}{(2x-x^2)^2+4(1-x)^2}\\ &=-2\dfrac{x^2-2x+2}{(2x-x^2)^2+4(1-x)^2} \enar$

Comme pour tout

réel,

(le discriminant du trinôme est $\Delta=-4<0$ ), et que le dénominateur est unes somme de deux carrés donc positif aussi, on en déduit que

et donc que

est décroissante sur

.

D'autre part, si $g(x)=\arctan(x-1)$ , alors $g'(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2+1}=\dfrac{1}{x^2-2x+2}$
On peur alors remarquer que $(2x-x^2)^2+4(1-x)^2=x^4-4x^3+8x^2-8x+4=\left( x^2-2x+2\rp^2$ , et donc que $f'(x)=-2\dfrac{x^2-2x+2}{\left( x^2-2x+2\rp^2}=-2\dfrac{1}{x^2-2x+2}=-2g'(x)$ .
Ainsi,

, $C\in\R$ .
Sur

, $f(1)=\arctan(0)=0=-2g(0)+C=C$ , et donc $f(x)=-2\arctan(x-1)$ .

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