Bases de sous-espaces vectoriels
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
Soit
,
et
.
On pose
et
.



On pose


- Donner une base de
.
- Montrer que
est un sous-espace vectoriel de
, et en donner une base.
- Donner une base de
.
Correction
Correction
- On a
. Il reste à voir si les trois vecteurs forment une famille libre ou non.
La famille n'est donc pas libre, et en choisissant par exempleet donc
et
, on obtient la relation
On a donc, et comme
et
ne sont pas liés (ils ne sont pas proportionnels), on en déduit qu'ils forment une base de
.
-
, et si
et
, donc
et
, alors
est tel que
avec
et donc.
De même, si, alors
est tel que
avec
et donc.
Ainsi,est un sous-espace vectoriel de
.
Pour, on a
et donc
.
Ainsi,et
forment une famille génératrice de
. Comme ces vecteurs ne sont pas liés, ils forment de plus une base de
.
- Soit
, alors
et
et donc
On trouve donc, puis
et
, soit
ou ce qu'on (doit) retrouve(r) avec la deuxième relation:
Ainsi, en posanton a
, et
est une base de ce sous-espace de dimension 1.
Tag:Espace vectoriel
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