Étude de la convergence de la série


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Étudier la convergence de la série de terme général $u_n=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}$


Correction

Correction


\[\begin{array}{ll}u_n&=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}
\tm\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\[.6em]
&=\dfrac1{n\lp\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\\[.6em]
&\underset{+\infty}{\sim}\dfrac1{2n\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2n^{3/2}}
\enar\]

qui est le terme général d'une série de Riemann convergente, et la série est aussi donc convergente.


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