Somme des entiers impairs
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- SommesSommes des termes d'une suite
- RécurrenceDémonstration par récuurrence
Énoncé du sujet
Montrer par récurrence que
.

Correction
:
Pour
,
et
, ce qui montre que la formule est vraie initialement au rang
.
Supposons maintenant que la formule est vraie à un rang quelconque
,
c'est-à-dire
que
.
On a alors, au rang
suivant:
![\[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{p=0}^{n+1} 2p+1
&=\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1+(2(n+1)+1)\\[.6em]
&=(n+1)^2+(2n+3) \\[.6em]
&=n^2+4n+4 \\[.5em]
&=(n+2)^2 \\[.5em]
=\bigl((n+1)+1\bigr)^2
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiersImpairs_c/9.png)
et la formule est donc encore vraie.
On a donc montré, grâce au principe de récurrence, que pour tout entier
,
.
Correction
Par récurrence sur
Pour




Supposons maintenant que la formule est vraie à un rang quelconque


On a alors, au rang

![\[\begin{array}{ll}\dsp\sum_{p=0}^{n+1} 2p+1
&=\dsp\sum_{p=0}^n 2p+1+(2(n+1)+1)\\[.6em]
&=(n+1)^2+(2n+3) \\[.6em]
&=n^2+4n+4 \\[.5em]
&=(n+2)^2 \\[.5em]
=\bigl((n+1)+1\bigr)^2
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/exSommeEntiersImpairs_c/9.png)
et la formule est donc encore vraie.
On a donc montré, grâce au principe de récurrence, que pour tout entier


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