Égalité des accroissements finis - Énoncé et démonstration
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis
Énoncé du sujet
Énoncer l'égalité des accroissements finis.
Correction
une fonction continue sur
et dérivable sur
,
alors il existe
tel que
.
Démonstration:
Graphiquement, ce théorème énonce qu'il existe
tel que
,
c'est-à-dire que la tangente est parallèle
à la droite passant par les points de la courbe aux extrémités
de l'intervalle:
![\[\psset{arrowsize=7pt}\begin{pspicture}(-1,-.6)(6,5.4)
\psline{->}(-1,0)(6,0)
\psline{->}(0,-.6)(0,5.2)
\pscurve[linewidth=1.3pt](.5,1.5)(.7,2)(2,3.5)(3.2,1)(4,1.5)(5,4)
\psline{<->}(.5,2.8)(3,4.2)
\psline{<->}(2.4,.4)(4.9,1.8)
\rput[r](-.2,1.5){$f(a)$}
\rput[r](-.2,4){$f(b)$}
\rput(.5,-.3){$a$}
\rput(5,-.3){$b$}
\psline[linestyle=dashed](.5,0)(.5,1.5)(0,1.5)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,4)(0,4)
\psline(.5,1.5)(5,4)
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/8.png)
Le coefficient directeur de la sécante pasant par
et
est
.
On définit alors la fonction
pour laquelle
et aussi
.
Comme
est, de même que
,
continue sur
et dérivable sur
,
on en déduit, d'après le théorème de Rolle,
qu'il existe
tel que
soit exactement
![\[f'(c)=m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/21.png)
Correction
Théorème: Soit![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/1.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/2.png)
![$]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/3.png)
![$c\in]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/4.png)
![$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/5.png)
Démonstration:
Graphiquement, ce théorème énonce qu'il existe
![$c\in]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/6.png)
![$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/7.png)
![\[\psset{arrowsize=7pt}\begin{pspicture}(-1,-.6)(6,5.4)
\psline{->}(-1,0)(6,0)
\psline{->}(0,-.6)(0,5.2)
\pscurve[linewidth=1.3pt](.5,1.5)(.7,2)(2,3.5)(3.2,1)(4,1.5)(5,4)
\psline{<->}(.5,2.8)(3,4.2)
\psline{<->}(2.4,.4)(4.9,1.8)
\rput[r](-.2,1.5){$f(a)$}
\rput[r](-.2,4){$f(b)$}
\rput(.5,-.3){$a$}
\rput(5,-.3){$b$}
\psline[linestyle=dashed](.5,0)(.5,1.5)(0,1.5)
\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,4)(0,4)
\psline(.5,1.5)(5,4)
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/8.png)
Le coefficient directeur de la sécante pasant par
![$\left( a;f(a)\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/9.png)
![$\left( b;f(b)\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/10.png)
![$m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/11.png)
On définit alors la fonction
![$\varphi(x)=f(x)-f(a)-m(x-a)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/12.png)
![$\varphi(a)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/13.png)
![$\varphi(b)=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/14.png)
Comme
![$\varphi$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/15.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/16.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/17.png)
![$]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/18.png)
![$c\in]a;b[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/19.png)
![$\varphi'(c)=0\iff f'(c)-m=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/20.png)
![\[f'(c)=m=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/exAF0_c/21.png)
Tag:Rolle - AF
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