Courbe paramétrée fractions rationnelles


Colle de mathématiques

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Soit $(C)$ la courbe définie par la représentation paramétrique $\la\begin{array}{ll} x(s)=\dfrac{1}{1+s^2} \\[0.3cm] y(s)=\dfrac{-s}{1+s^2} \enar\right.$, $s\in[0;+\infty[$.
  1. Calculer les dérivées des fonctions $x$ et $y$, puis établir le tableau des variations conjointes de $x$ et $y$.
  2. On note $A$ le point de la courbe lorsque $s=0$, et $B$ le point de la courbe lorsque $s=1$. Déterminer les coordonnées des points $A$ et $B$.
    Préciser la direction de la tangente à la courbe $(C)$ aux points $A$ et $B$.
  3. Tracer alors, en utilisant tous les résultats précédents, la courbe $(C)$.



Correction

Correction

  1. $\la\begin{array}{ll} x'(s)=\dfrac{-2s}{(1+s^2)^2} \\[0.3cm] y'(s)=\dfrac{-(1+s^2)+2s^2}{(1+s^2)^2} =\dfrac{s^2-1}{(1+s^2)^2} \enar\right.$ d'où,
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $s$ & $0$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline $x'(s)$ & $0$ & & $-$& & 0 \\\hline &1&&&&\\ $x(s)$ && & \psline{->}(-1,0.5)(1.2,-0.2) \rput(0,0){$\frac12$}& & \\ &&&&&0\\\hline &0&&&&0\\ $y(s)$ && \psline{->}(-0.6,0.5)(0.6,-0.2)& \psline{->}(0.2,-0.2)(1.4,0.4)& & \\ &&& $-\frac12$ &&\\\hline $y'(s)$ & $-1$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$& 0 \\\hline \end{tabular}\]


  2. Lorsque $s=0$, $x(0)=1$ et $y(0)=0$, d'où $A(1;0)$.
    Lorsque $s=1$, $x(1)=\frac12$ et $y(1)=-\frac12$, d'où $B\lp\frac12;-\frac12\rp$.

    En $A$, $x'(0)=0$ et $y'(0)=-1$; ainsi, la tangente en $A$ est verticale.
    En $B$, $x'(1)\not=0$ et $y'(1)=0$; ainsi la tangente en $B$ est horizontale.

  3. \[\psset{unit=4cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-0.05,-0.8)(1,0.2) \psline{->}(-0.2,0)(1.3,0) \psline{->}(0,-0.8)(0,0.3) \rput(-0.1,-0.1){$O$} \psline{->}(1,0)(1,-0.7)\rput(1,0.1){$1$} \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,-0.5)(0,-0.5) \rput(0.5,0.1){$\frac12$} \rput(-0.15,-0.5){$-\frac12$} \psline{<->}(0.1,-0.5)(0.9,-0.5) \psline{->}(0,0)(0,-0.7) \parametricplot[plotpoints=1000,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{100}{ 1 1 t 2 exp add div -1 t mul 1 t 2 exp add div } \rput(1.06,-0.06){$A$} \rput(0.5,-0.56){$B$} \end{pspicture}\]




Tag:Courbes paramétrées

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