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Caractérisation d'une similitude

Soit $E=\R^n$ muni du produit scalaire canonique, $f\in\mathcal L(E)$ et $\lambda>0$ . On dit que

est une similitude de rapport $\lambda$ si pour tout $x\in E$ , $\|f(x)\|=\lambda \|x\|$ .

Soit $u,v\in E$ tels que $u+v\perp u-v$ . Démontrer que $\|u\|=\|v\|$ .
Démontrer que est une similitude de rapport $\lambda$ si et seulement si, pour tous $x,y\in E$ , $\langle f(x),f(y)\rangle =\lambda^2 \langle x,y\rangle.$
On souhaite prouver que est une similitude si et seulement est non-nulle et conserve l'orthogonalité: pour tout couple , si , alors .
1. Prouver le sens direct.
2. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de . Démontrer que, pour tout couple , $\|f(e_i)\|=\|f(e_j)\|$ .
3. Démontrer le sens réciproque.

Correction

Tag:Espaces euclidiens

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