Caractérisation d'une similitude
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espaces euclidiensEspaces euclidiens, produit scalaire
Énoncé du sujet
Soit
muni du produit scalaire canonique,
et
.
On dit que
est une similitude de rapport
si pour tout
,
.
![$E=\R^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/similitude/1.png)
![$f\in\mathcal L(E)$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/similitude/2.png)
![$\lambda>0$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/similitude/3.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/similitude/4.png)
![$\lambda$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/similitude/5.png)
![$x\in E$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/similitude/6.png)
![$\|f(x)\|=\lambda \|x\|$](/Generateur-Devoirs/Colles/EspaceEuclidien/similitude/7.png)
- Soit
tels que
. Démontrer que
.
- Démontrer que
est une similitude de rapport
si et seulement si, pour tous
,
- On souhaite prouver que
est une similitude si et seulement
est non-nulle et conserve l'orthogonalité: pour tout couple
, si
, alors
.
- Prouver le sens direct.
- Soit
une base orthonormale de
. Démontrer que, pour tout couple
,
.
- Démontrer le sens réciproque.
Correction
Correction
- On a, en utilisant la bilinéarité et la symétrie du produit scalaire,
et ainsi,
- Bien sûr, le sens réciproque est trivial puisqu'il suffit
de choisir
.
Réciproquement, supposons que pour tout, on a
. Alors, d'une part
et d'autre part
En égalant ces deux dernières relations, on obtient donc
-
- C'est une conséquence directe de la question précédente.
- On sait que
. Puisque
préserve l'orthogonalité,
. Et d'après la première question,
- Soit
tel que
(
ne dépend pas de
d'après la question précédente, et est strictement positif sinon
serait nulle). On va démontrer que
est une similitude de rapport
. Soit
qui s'écrit
Alors
La familleétant orthogonale, on a
est bien une similitude de rapport
.
Tag:Espaces euclidiens
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