Propriété de l'intégrale d'une fonction avec une symétrie
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Soit
une fonction continue sur
à valeurs réelles telle que, pour tout
,
.
Montrer que
.
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3/1.png)
![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3/2.png)
![$x\in[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3/3.png)
![$f\left( a+b-x\rp=f(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3/4.png)
Montrer que
![$\dsp\int_a^b xf(x)\,dx=\dfrac{a+b}{2}\int_a^bf(x)\,dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3/5.png)
Correction
, alors la propriété donnée sur
exprime que sa courbe est symétrique par rapport à la droite d'équation
.
En effet, si on pose
, alors
![\[\begin{array}{ll}f(m-x)&=f\lp\dfrac{a+b}{2}-x\rp\\
&=f\Bigl( a+b-\left( x+\dfrac{a+b}{2}\rp\Bigr) \\
&=f\left( x+\dfrac{a+b}{2}\rp\Bigr) \\
&=f(m+x)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/5.png)
En ayant remarqué ou non cette symétrie graphique, la propriété donnée sur
nous incite fortement à utiliser le changement de variable
dans l'intégrale.
On alors
et, en n'oubliant pas les bornes,
![\[I=\int_a^b xf(x)\,dx=-\int_b^a (a+b-u)f\left( a+b-u\rp\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/9.png)
soit, avec
et en séparant l'intégrale en deux:
![\[\begin{array}{ll}I&\dsp=(a+b)\int_a^b f(u)du-\int_a^b uf(u)du\\[1em]
&\dsp=(a+b)\int_a^bf(u)du-I\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/11.png)
On trouve donc
d'où le résultat.
Correction
Soit![$m=\dfrac{a+b}{2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/1.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/2.png)
![$x=m$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/3.png)
![$u=m-x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/4.png)
![\[\begin{array}{ll}f(m-x)&=f\lp\dfrac{a+b}{2}-x\rp\\
&=f\Bigl( a+b-\left( x+\dfrac{a+b}{2}\rp\Bigr) \\
&=f\left( x+\dfrac{a+b}{2}\rp\Bigr) \\
&=f(m+x)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/5.png)
En ayant remarqué ou non cette symétrie graphique, la propriété donnée sur
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/6.png)
![$u=a+b-x$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/7.png)
On alors
![$du=-dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/8.png)
![\[I=\int_a^b xf(x)\,dx=-\int_b^a (a+b-u)f\left( a+b-u\rp\,du\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/9.png)
soit, avec
![$f(a+b-u)=f(u)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/10.png)
![\[\begin{array}{ll}I&\dsp=(a+b)\int_a^b f(u)du-\int_a^b uf(u)du\\[1em]
&\dsp=(a+b)\int_a^bf(u)du-I\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/11.png)
On trouve donc
![$2I=(a+b)\dsp\int_a^bf(u)\,du$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exR3_c/12.png)
Tag:Intégrale
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