Calcul d'intégrale avec changement de variable

Colle de mathématiques

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Calculer l'intégrale $\dsp\int_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}dx$ à l'aide du changement de variable $u=\sqrt{1+x}$ .

Correction

Soit $I=\dsp\int_0^1\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}dx$ et le changement de variable $u=\sqrt{1+x} \iff x=u^2-1$ et $dx=2u\,du$ , soit alors, en n'oubliant pas de changer les bornes de l'intégrale,

$\begin{array}{ll} I&\dsp=\int_1^{\sqrt2} \dfrac{u^2-1}{u}2u\,du \\[1.2em] &=\dsp2\int_1^{\sqrt2}\left( u^2-1\rp\,du \\[1.2em] &=2\lb\dfrac13u^3-u\rb_1^{\sqrt2} \\[1.5em] &=2\left[ \left( \dfrac{\left(\sqrt2\rp^3}3-\sqrt2\rp-\left(\dfrac13-1\rp\rb\\[1.5em] &=\dfrac23\lp-\sqrt2+2\right) \enar$

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