Équation différentielle - 1^er ordre, coefficients non constants

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Équation différentielleÉquation différentielle

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L'équation homogène est $y'-2xy=0\iff \dfrac{y'}{y}=2x$ et a pour solutions $x\mapsto ke^{x^2}$ , $k\in\R$ .
En faisant varier la constante, $y(x)=k(x)e^{x^2}$ , on obtient $k'(x)e^{x^2}=-(2x-1)e^x\iff k'(x)=(-2x+1)e^{-x^2+x}$ , et donc $k(x)=e^{-x^2+x}$ .
Ainsi, $y(x)=e^{-x^2+x}e^{x^2}=e^x$ est une solution particulière, et les solutions générales sont données par $x\mapsto e^x+ke^{x^2}$ , $k\in\R$ .

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