Calcul de sommes connaissant e

Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Sachant que $e=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}$ calculer les sommes $S_1=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n+1}{n!}$ et $S_2=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^2-2}{n!}$ .

Correction

On a, pour $n\geq1$ ,

$\begin{array}{ll}\dfrac{n+1}{n!}&=\dfrac{n}{n!}+\dfrac1{n!}\\ &=\dfrac1{(n-1)!}+\dfrac1{n!}\enar$

et donc

$\begin{array}{ll}S_1&=1+\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n+1}{n!}\\ &=1+\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{(n-1)!}+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n!} \enar$

On peut changer d'indice dans la première somme:

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{(n-1)!} =\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}=e$

et par ailleurs,

$1+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n!} =\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}=e$

On trouve finalement la somme

$S_1=2$

On procède de la même façon pour la deuxième somme:

$\begin{array}{ll}S_2&=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^2-2}{n!}\\[1.2em] &=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^2}{n!} -\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac2{n!}\\[1.2em] &=\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{(n-1)!} -2\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}\\[1.2em] &=\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{(n-1)!}-2e\enar$

Il reste à exprimer cette dernière somme. Pour cela on essaie de simplifier le numérateur avec le dénominateur, pour $n\geq2$ ,

$\begin{array}{ll}\dfrac{n}{(n-1)!}&=\dfrac{(n-1)+1}{(n-1)!}\\[1em] &=\dfrac1{(n-2)!}+\dfrac1{(n-1)!}\enar$

et alors

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{(n-1)!} =\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac1{(n-2)!} +\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{(n-1)!}$

puis en hangeant d'indices

$\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{(n-1)!} =\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!} +\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}=2e$

On trouve donc finalement que, simplement,

$S_2=0$

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