Calcul de sommes connaissant e


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Sachant que $e=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}$ calculer les sommes $S_1=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n+1}{n!}$ et $S_2=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^2-2}{n!}$.


Correction

Correction

On a, pour $n\geq1$,
\[\begin{array}{ll}\dfrac{n+1}{n!}&=\dfrac{n}{n!}+\dfrac1{n!}\\
&=\dfrac1{(n-1)!}+\dfrac1{n!}\enar\]

et donc
\[\begin{array}{ll}S_1&=1+\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n+1}{n!}\\
&=1+\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{(n-1)!}+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n!}
\enar\]

On peut changer d'indice dans la première somme:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{(n-1)!}
=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}=e\]

et par ailleurs,
\[1+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n!}
=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}=e\]

On trouve finalement la somme
\[S_1=2\]

On procède de la même façon pour la deuxième somme:
\[\begin{array}{ll}S_2&=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^2-2}{n!}\\[1.2em]
&=\dsp\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{n^2}{n!}
-\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac2{n!}\\[1.2em]
&=\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{(n-1)!}
-2\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}\\[1.2em]
&=\dsp\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{(n-1)!}-2e\enar\]

Il reste à exprimer cette dernière somme. Pour cela on essaie de simplifier le numérateur avec le dénominateur, pour $n\geq2$,
\[\begin{array}{ll}\dfrac{n}{(n-1)!}&=\dfrac{(n-1)+1}{(n-1)!}\\[1em]
&=\dfrac1{(n-2)!}+\dfrac1{(n-1)!}\enar\]

et alors
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{(n-1)!}
=\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac1{(n-2)!}
+\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{(n-1)!}\]

puis en hangeant d'indices
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{n}{(n-1)!}
=\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}
+\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac1{n!}=2e\]

On trouve donc finalement que, simplement,
\[S_2=0\]



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