Famille libre ?

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

À quelle condition sur le réel

, la famille $\left( e_1;e_2;e_3\rp$ , avec

$e_1=(a;1;1)\ ,\ e_2=(1;a;1)\ ,\ e_3=(1;1;a)$

est-elle une base de $\R^3$ ?

Correction

Le déterminant des 3 vecteurs est:

$D(a)=\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\enar\right|$

La famille est libre, donc une base, si et seulement si $D(a)\not=0$ .
En ajjoutant les 3 colonnes dans la 1ère, on obtient,

$D(a)=\left|\begin{array}{ccc}2+a&1&1\\2+a&a&1\\2+a&1&a\enar\right| =(2+a)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\enar\right|$

puis en soustrayant la 2ème colonne à la 1ère,

$D(a)=(2+a)\left|\begin{array}{ccc}0&1&1\\1-a&a&1\\0&1&a\enar\right| =-(2+a)(1-a)\left|\begin{array}{cc}1&1\\1&a\enar\right|$

et donc,

$D(a)=-(2+a)(1-a)(a-1)=(2+a)(1-a)^2$

Ainsi, la famille est une base si et seulement si $a\not=-2$ et $a\not=1$ .

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