Famille libre ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
- DéterminantsDéterminants de matrices
Énoncé du sujet
À quelle condition sur le réel
,
la famille
, avec
![\[ e_1=(a;1;1)\ ,\ e_2=(1;a;1)\ ,\ e_3=(1;1;a)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre/3.png)
est-elle une base de
?
![$a$](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre/1.png)
![$\left( e_1;e_2;e_3\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre/2.png)
![\[ e_1=(a;1;1)\ ,\ e_2=(1;a;1)\ ,\ e_3=(1;1;a)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre/3.png)
est-elle une base de
![$\R^3$](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre/4.png)
Correction
![\[D(a)=\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\enar\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/1.png)
La famille est libre, donc une base, si et seulement si
.
En ajjoutant les 3 colonnes dans la 1ère, on obtient,
![\[D(a)=\left|\begin{array}{ccc}2+a&1&1\\2+a&a&1\\2+a&1&a\enar\right|
=(2+a)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\enar\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/3.png)
puis en soustrayant la 2ème colonne à la 1ère,
![\[D(a)=(2+a)\left|\begin{array}{ccc}0&1&1\\1-a&a&1\\0&1&a\enar\right|
=-(2+a)(1-a)\left|\begin{array}{cc}1&1\\1&a\enar\right|
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/4.png)
et donc,
![\[D(a)=-(2+a)(1-a)(a-1)=(2+a)(1-a)^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/5.png)
Ainsi, la famille est une base si et seulement si
et
.
Correction
Le déterminant des 3 vecteurs est:![\[D(a)=\left|\begin{array}{ccc}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a\enar\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/1.png)
La famille est libre, donc une base, si et seulement si
![$D(a)\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/2.png)
En ajjoutant les 3 colonnes dans la 1ère, on obtient,
![\[D(a)=\left|\begin{array}{ccc}2+a&1&1\\2+a&a&1\\2+a&1&a\enar\right|
=(2+a)\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\enar\right|\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/3.png)
puis en soustrayant la 2ème colonne à la 1ère,
![\[D(a)=(2+a)\left|\begin{array}{ccc}0&1&1\\1-a&a&1\\0&1&a\enar\right|
=-(2+a)(1-a)\left|\begin{array}{cc}1&1\\1&a\enar\right|
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/4.png)
et donc,
![\[D(a)=-(2+a)(1-a)(a-1)=(2+a)(1-a)^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/5.png)
Ainsi, la famille est une base si et seulement si
![$a\not=-2$](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/6.png)
![$a\not=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exFamille-libre_c/7.png)
Tags:Espace vectorielDéterminants
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