Limite classique exponentielle
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- SuitesSuites
- LimiteLimites de suites et de fonctions
- ÉquivalentsÉquivalents pour le calcul de limites
- DLDéveloppements limités
Énoncé du sujet
Étudier la limite de la suite
définie
par, pour tout entier non nul
,
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex12/1.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex12/2.png)
![$u_n=\lp1+\dfrac1n\rp^n$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex12/3.png)
Correction
,
or
lorsque
.
On a donc,
,
ce qui montre que
.
Correction
On a![$\ln\left( u_n\rp=n\ln\left(1+\dfrac1n\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex12_c/1.png)
![$\ln\lp1+u\rp\sim u$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex12_c/2.png)
![$u\to0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex12_c/3.png)
On a donc,
![$\ln\left( u_n\rp\sim n\dfrac1n=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex12_c/4.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=e^1=e$](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/ex12_c/5.png)
Tags:SuitesLimiteÉquivalentsDL
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