Probabilité de bonne réponse à un QCM


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

  1. Soit $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles. Montrer que
    \[P_B(A)=P_A(B)\dfrac{P(A)}{P(B)}\]

  2. Un questionnaire à choix multiples propose $m$ réponses pour chaque question.
    Soit $p$ la probabilité qu'un étudiant connaisse la bonne réponse à une question donnée. S'il ignore la réponse, il choisit au hasard l'une des réponses proposées.
    Quelle est pour le correcteur la probabilité qu'un étudiant connaisse vraiment la bonne réponse lorsqu'il l'a donnée ?



Correction

Correction

  1. Par définition de la probabilité conditionnelle:
    \[P_A(B)=\dfrac{P\left( A\cap B\right)}{P(A)}\]

    et donc
    \[P_B(A)=\dfrac{P\left( A\cap B\right)}{P(B)} =\dfrac{P_A(B)\,P(A)}{P(B)}\]

  2. On note les événements $B$:"L'étudiant donne la bonne réponse" et $C$:"L'étudiant connait la bonne réponse".
    On cherche alors $P_B(C)$.
    D'après l'énoncé on a: $P(C)=p$, $P_C(B)=1$, et $P_{\overline{C}}(B)=\dfrac1m$.
    D'après la formule des probabilités totales, on a alors:
    \[\begin{array}{ll} P(B)&=P\left( B\cap C\right) + P\left( B\cap\overline{C}\right) \\[.7em] &=P(C)P_C(B)+P\lp\overline{C}\right) P_{\overline{C}}(B)\\[.7em] &=p+(1-p)\tm\dfrac1m\\[.5em] &=\dfrac{mp+(1-p)}m\enar\]

    et enfin, d'après la formule de Bayes, démontrée au a)
    \[\begin{array}{ll}P_B(C)&=P_C(B)\dfrac{P(C)}{P(B)}\\[1em] &=\dfrac{mp}{mp+(1-p)}\\[.8em] &=\dfrac{1}{1+\frac{1-p}{mp}}\enar\]



Tag:Probabilités conditionnelles - indépendance

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