Tangente à un cercle passant par un point et calcul de distance
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Géométrie plane cartésienneGéométrie plane cartésienne, géométrie et coordonnées dans le plan
Énoncé du sujet
On considère, dans un repère orthonormal du plan,
le point 
et le cercle 
de centre 
et de rayon 
.
On note
une droite passant par 
et tangente
à 
en 
.
Déterminer les coordonnées du point
et la distance 
.
et le cercle
de centre et de rayon .
On note
une droite passant par et tangente
à en .
Déterminer les coordonnées du point
et la distance .
Correction
.
Comme la droite
est tangente au cercle, elle est en particulier perpendiculaire au rayon, soit 
.
De plus
est aussi un point du cercle, et donc 
.
Ces deux relations s'écrivent soit
![\[\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{\Omega T}=(x+2)(x-2)+y(y-2)=0\\[.5em]
\Omega T^2=(x-2)^2+(y-2)^2=2
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/6.png)
soit, en développant et ordonnant
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
x^2+y^2-4x-4y+6=0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/7.png)
En soustrayant la deuxième équation à la première, tous les termes au carré se simplifient, et on obtient le système équivalent
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
4x+2y-10=0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/8.png)
On peut alors exprimer
dans la deuxième équation
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
y=-2x+5
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/10.png)
puis le substituer dans la première équation
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+(-2x+5)^2-2(-2x+5)-4=0\\[.5em]
y=-2x+5
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/11.png)
Cette première équation est donc une équation du second degré
qui admet
comme racine évidente; la 2ème racine étant alors 
.
(ou on peut calculer le discriminat 
, puis les racines ...)
On calcule alors les ordonnées correspondantes grâce à
.
On trouve donc finalement deux possibilités pour le point
:
et 
.
Correction
Soit.
Comme la droite
est tangente au cercle, elle est en particulier perpendiculaire au rayon, soit .
De plus
est aussi un point du cercle, et donc .
Ces deux relations s'écrivent soit
soit, en développant et ordonnant
En soustrayant la deuxième équation à la première, tous les termes au carré se simplifient, et on obtient le système équivalent
On peut alors exprimer
dans la deuxième équation
puis le substituer dans la première équation
Cette première équation est donc une équation du second degré
qui admet
comme racine évidente; la 2ème racine étant alors .
(ou on peut calculer le discriminat , puis les racines ...)
On calcule alors les ordonnées correspondantes grâce à
.
On trouve donc finalement deux possibilités pour le point
:
et .
Tag:Géométrie plane cartésienne
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