Tangente à un cercle passant par un point et calcul de distance
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Géométrie plane cartésienneGéométrie plane cartésienne, géométrie et coordonnées dans le plan
Énoncé du sujet
On considère, dans un repère orthonormal du plan,
le point
et le cercle
de centre
et de rayon
.
On note
une droite passant par
et tangente
à
en
.
Déterminer les coordonnées du point
et la distance
.
![$A(-2;0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6/1.png)
![$\mathcal{C}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6/2.png)
![$\Omega(2;2)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6/3.png)
![$\sqrt2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6/4.png)
On note
![$\Delta$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6/5.png)
![$A$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6/6.png)
![$\mathcal{C}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6/7.png)
![$T$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6/8.png)
Déterminer les coordonnées du point
![$T$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6/9.png)
![$AT$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6/10.png)
Correction
.
On a
et
,
soit
![\[\begin{array}{l}
\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{\Omega T}=(x+2)(x-2)+y(y-2)=0\\[.5em]
\Omega T^2=(x-2)^2+(y-2)^2=2
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
x^2+y^2-4x-4y+6=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
4x+2y-10=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+(-2x+5)^2-2(-2x+5)-4=5x^2-16x+11=0\\[.5em]
y=-2x+5
\enar\right.\\[1.5em]
\end{array}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/4.png)
est une racine évidente du trinôme,
la 2ème racine étant alors
.
On trouve donc deux possibilités:
et
.
Correction
Soit![$T(x;y)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/1.png)
![$\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{\Omega T}=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/2.png)
![$\Omega T=\sqrt2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/3.png)
![\[\begin{array}{l}
\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{\Omega T}=(x+2)(x-2)+y(y-2)=0\\[.5em]
\Omega T^2=(x-2)^2+(y-2)^2=2
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
x^2+y^2-4x-4y+6=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
4x+2y-10=0
\enar\right.\\[1.5em]
\iff
\la\begin{array}{l}
x^2+(-2x+5)^2-2(-2x+5)-4=5x^2-16x+11=0\\[.5em]
y=-2x+5
\enar\right.\\[1.5em]
\end{array}
\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/4.png)
![$x=1$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/5.png)
![$x=\dfrac{11}{5}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/6.png)
On trouve donc deux possibilités:
![$T(1;3)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/7.png)
![$T\lp\dfrac{11}{5};\dfrac{3}{5}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/8.png)
Tag:Géométrie plane cartésienne
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)