Tangente à un cercle passant par un point et calcul de distance
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Géométrie plane cartésienneGéométrie plane cartésienne, géométrie et coordonnées dans le plan
Énoncé du sujet
On considère, dans un repère orthonormal du plan,
le point
et le cercle
de centre
et de rayon
.
On note
une droite passant par
et tangente
à
en
.
Déterminer les coordonnées du point
et la distance
.




On note




Déterminer les coordonnées du point


Correction
.
Comme la droite
est tangente au cercle, elle est en particulier perpendiculaire au rayon, soit
.
De plus
est aussi un point du cercle, et donc
.
Ces deux relations s'écrivent soit
![\[\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{\Omega T}=(x+2)(x-2)+y(y-2)=0\\[.5em]
\Omega T^2=(x-2)^2+(y-2)^2=2
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/6.png)
soit, en développant et ordonnant
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
x^2+y^2-4x-4y+6=0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/7.png)
En soustrayant la deuxième équation à la première, tous les termes au carré se simplifient, et on obtient le système équivalent
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
4x+2y-10=0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/8.png)
On peut alors exprimer
dans la deuxième équation
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
y=-2x+5
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/10.png)
puis le substituer dans la première équation
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+(-2x+5)^2-2(-2x+5)-4=0\\[.5em]
y=-2x+5
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/11.png)
Cette première équation est donc une équation du second degré
qui admet
comme racine évidente; la 2ème racine étant alors
.
(ou on peut calculer le discriminat
, puis les racines ...)
On calcule alors les ordonnées correspondantes grâce à
.
On trouve donc finalement deux possibilités pour le point
:
et
.
Correction
Soit
Comme la droite


De plus


Ces deux relations s'écrivent soit
![\[\la\begin{array}{l}
\overrightarrow{AT}\cdot\overrightarrow{\Omega T}=(x+2)(x-2)+y(y-2)=0\\[.5em]
\Omega T^2=(x-2)^2+(y-2)^2=2
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/6.png)
soit, en développant et ordonnant
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
x^2+y^2-4x-4y+6=0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/7.png)
En soustrayant la deuxième équation à la première, tous les termes au carré se simplifient, et on obtient le système équivalent
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
4x+2y-10=0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/8.png)
On peut alors exprimer

![\[\la\begin{array}{l}
x^2+y^2-2y-4=0\\[.5em]
y=-2x+5
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/10.png)
puis le substituer dans la première équation
![\[\la\begin{array}{l}
x^2+(-2x+5)^2-2(-2x+5)-4=0\\[.5em]
y=-2x+5
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Geom2D/ex6_c/11.png)
Cette première équation est donc une équation du second degré




On calcule alors les ordonnées correspondantes grâce à

On trouve donc finalement deux possibilités pour le point



Tag:Géométrie plane cartésienne
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