Calcul d'intégrale avec changement de variable

Colle de mathématiques

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Calculer l'intégrale $\dsp\int_0^{\ln2}\dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}dx$ en utilisant le changement de variable $u=\sqrt{e^x+1}$ .

Correction

Soit $I=\dsp\int_0^{\ln2}\dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^x+1}}dx$ et le changement de variable $u=\sqrt{e^x+1}\iff e^x=u^2-1$ , et $du=\dfrac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}dx$ , et donc (en n'oubliant pas les bornes),

$\begin{array}{ll} I&=\dsp\int_0^{\ln2}e^x\dfrac{e^x}{\sqrt{e^x+1}}dx\\[1.2em] &=\dsp2\int_{\sqrt2}^{\sqrt3} \left( u^2-1\rp\,du\\[1.2em] &=2\left[ \dfrac13u^3-u\rb_{\sqrt2}^{\sqrt3}\\[1.4em] &=2\lb\lp\dfrac{\sqrt3^3}{3}-\sqrt3\rp-\lp\dfrac{\sqrt2^3}{3}-\sqrt2\rp\rb\\[1.4em] &=\dfrac23\sqrt2 \enar$

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