Détermination d'une limite

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

LimiteLimites de suites et de fonctions
DLDéveloppements limités

Énoncé du sujet

Déterminer la limite $\dsp\lim_{x\to0}\lp\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x}\rp$

Correction

On a $\sin^2x=1-\cos^2x=\lp1-\cos x\rp\lp1+\cos x\rp$ , d'où, grâce à la décomposition en éléments simples $\dfrac{2}{(1-x)(1+x)}=\dfrac1{1-x}+\dfrac1{1+x}$ ,
on obtient

$\dfrac2{1-\cos^2x}=\dfrac1{1-\cos x}+\dfrac1{1+\cos x}$

et alors

$\lim_{x\to0}\lp\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x}\right) =\lim_{x\to0}\dfrac1{1+\cos x}=\dfrac12$

On peut aussi utiliser les développements limités, si on les connaît:

$\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o\left( x^4\rp$

et donc

$\begin{array}{ll}\dfrac1{\sin^2 x}&=\dfrac1{\left( x-\dfrac{x^3}{6}+o\left( x^4\rp\rp^2} \\[2.6em] &=\dfrac1{x^2}\,\dfrac1{\lp1-\dfrac{x^2}{6}+o\lp x^3\rp\rp^2}\\[2.6em] &=\dfrac1{x^2}\lp1+2\dfrac{x^2}{6}+o\lp x^2\rp\rp\\[1.4em] &=\dfrac1{x^2}+\dfrac13+o(1) \enar$

et $\cos x= 1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}+o\left( x^4\rp$ donc $1-\cos x=\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^4}{24}+o\left( x^4\rp$ et

$\begin{array}{ll}\dfrac1{1-\cos x}&=\dfrac1{\dfrac{x^2}2}\,\dfrac1{\lp1-\dfrac{x^2}{12}+o\lp x^2\rp\rp}\\[2.6em] &=\dfrac2{x^2}\lp1+\dfrac{x^2}{12}+o\lp x^2\rp\rp\\[1.2em] &=\dfrac2{x^2}+\dfrac16+o(1)\enar$

On obtient donc,

$\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x} =\dfrac23-\dfrac16+o(1)=\dfrac12+o(1)$

d'où

$\lim_{x\to0}\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x}=\dfrac12$

Tags:Limite DL

Autres sujets au hasard:

Voir aussi: