Détermination d'une limite
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Déterminer la limite
![$\dsp\lim_{x\to0}\lp\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7/1.png)
Correction
,
d'où, grâce à la décomposition en éléments simples
,
on obtient
![\[\dfrac2{1-\cos^2x}=\dfrac1{1-\cos x}+\dfrac1{1+\cos x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/3.png)
et alors
![\[\lim_{x\to0}\lp\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x}\right)
=\lim_{x\to0}\dfrac1{1+\cos x}=\dfrac12\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/4.png)
On peut aussi utiliser les développements limités, si on les connaît:
![\[\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o\left( x^4\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/5.png)
et donc
![\[\begin{array}{ll}\dfrac1{\sin^2 x}&=\dfrac1{\left( x-\dfrac{x^3}{6}+o\left( x^4\rp\rp^2} \\[2.6em]
&=\dfrac1{x^2}\,\dfrac1{\lp1-\dfrac{x^2}{6}+o\lp x^3\rp\rp^2}\\[2.6em]
&=\dfrac1{x^2}\lp1+2\dfrac{x^2}{6}+o\lp x^2\rp\rp\\[1.4em]
&=\dfrac1{x^2}+\dfrac13+o(1)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/6.png)
et
donc
et
![\[\begin{array}{ll}\dfrac1{1-\cos x}&=\dfrac1{\dfrac{x^2}2}\,\dfrac1{\lp1-\dfrac{x^2}{12}+o\lp x^2\rp\rp}\\[2.6em]
&=\dfrac2{x^2}\lp1+\dfrac{x^2}{12}+o\lp x^2\rp\rp\\[1.2em]
&=\dfrac2{x^2}+\dfrac16+o(1)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/9.png)
On obtient donc,
![\[\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x}
=\dfrac23-\dfrac16+o(1)=\dfrac12+o(1)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/10.png)
d'où
![\[\lim_{x\to0}\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x}=\dfrac12\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/11.png)
Correction
On a![$\sin^2x=1-\cos^2x=\lp1-\cos x\rp\lp1+\cos x\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/1.png)
![$\dfrac{2}{(1-x)(1+x)}=\dfrac1{1-x}+\dfrac1{1+x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/2.png)
on obtient
![\[\dfrac2{1-\cos^2x}=\dfrac1{1-\cos x}+\dfrac1{1+\cos x}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/3.png)
et alors
![\[\lim_{x\to0}\lp\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x}\right)
=\lim_{x\to0}\dfrac1{1+\cos x}=\dfrac12\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/4.png)
On peut aussi utiliser les développements limités, si on les connaît:
![\[\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o\left( x^4\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/5.png)
et donc
![\[\begin{array}{ll}\dfrac1{\sin^2 x}&=\dfrac1{\left( x-\dfrac{x^3}{6}+o\left( x^4\rp\rp^2} \\[2.6em]
&=\dfrac1{x^2}\,\dfrac1{\lp1-\dfrac{x^2}{6}+o\lp x^3\rp\rp^2}\\[2.6em]
&=\dfrac1{x^2}\lp1+2\dfrac{x^2}{6}+o\lp x^2\rp\rp\\[1.4em]
&=\dfrac1{x^2}+\dfrac13+o(1)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/6.png)
et
![$\cos x= 1-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^4}{24}+o\left( x^4\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/7.png)
![$1-\cos x=\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^4}{24}+o\left( x^4\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/8.png)
![\[\begin{array}{ll}\dfrac1{1-\cos x}&=\dfrac1{\dfrac{x^2}2}\,\dfrac1{\lp1-\dfrac{x^2}{12}+o\lp x^2\rp\rp}\\[2.6em]
&=\dfrac2{x^2}\lp1+\dfrac{x^2}{12}+o\lp x^2\rp\rp\\[1.2em]
&=\dfrac2{x^2}+\dfrac16+o(1)\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/9.png)
On obtient donc,
![\[\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x}
=\dfrac23-\dfrac16+o(1)=\dfrac12+o(1)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/10.png)
d'où
![\[\lim_{x\to0}\dfrac2{\sin^2x}-\dfrac1{1-\cos x}=\dfrac12\]](/Generateur-Devoirs/Colles/limites/ex7_c/11.png)
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