Courbe paramétrée polynomiale


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

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Étudier et tracer la courbe définie paramétriquement par    $\la\begin{array}{lll} x&=f(t)&=-6t^3+6t^2 \\[.8em] y&=g(t)&=-6t^2+6t \enar\right.\,,$ pour $t\in I=[0.1]$.


Correction

Correction

  1. Etude des variations de $f$ et $g$:
    Pour tout  $t\in I$,
    \[ \la\begin{array}{lll} f'(t)&=-18t^2+12t&=6t(-3t+2) \\[.5em] g'(t)&=-12t+6&=6(-2t+1) \enar\right. \]

    On peut alors dresser le tableau des variations de $f$ et $g$:
    \[\begin{tabular}{|c|lcccccr|}\hline $t$ & $0$ && $\frac{1}{2}$ && $\frac{2}{3}$ && $1$ \rule[-7pt]{0pt}{20pt}\\\hline $f'(t)$ &$0$& $+$ & $\frac{3}{2}$ & $+$ & $0$ & $-$ & $-6$ \rule[-7pt]{0pt}{20pt}\\\hline &&&&&$\frac{8}{9}$&&\\ $f(t)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.2)(2,0.6)&$\frac{3}{4}$ &&&\psline{->}(-0.5,0.6)(1,-0.2)&\\ &$0$&&&&&&$0$\\\hline &&&$\frac{3}{2}$&&&&\\ $g(t)$ &&\psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.6)&& \psline{->}(-0.4,0.6)(2.6,-0.2)&$\frac{4}{3}$&&\\ &$0$&&&&&&$0$\\\hline $g'(t)$ &$6$& $+$ & $0$ & $-$ & $-2$ &$-$ & $-6$ \rule[-7pt]{0pt}{20pt}\\\hline \end{tabular}\]



  2. Etude des points remarquables de la courbe.
    Il y a 3 points remarquables ($O$ est un point double):

    • Pour $t=0$, $f'(t)=0$ et $g'(t)\not=0$: la tangente au point $\left( 0\,;\,0\rp$ est verticale.
    • Pour $t=\frac{1}{2}$, $g'(t)=0$ et $f'(t)\not=0$: la tangente au point $A\lp\dfrac{3}{4}\,;\,\dfrac{3}{2}\rp$ est horizontale.
    • Pour $t=\frac{2}{3}$, $f'(t)=0$ et $g'(t)\not=0$: la tangente au point $B\left( \dfrac{8}{9}\,;\,\dfrac{4}{3}\rp$ est verticale
    • Pour $t=1$, $m=\dfrac{g'(t)}{f'(t)}=1$: la tangente au point $\lp0\,;\,0\rp$ a pour coefficient directeur $m=1$.


    \[\psset{xunit=4cm,yunit=4cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-0.3,-0.1)(2,1.75) \psaxes{->}(0,0)(-.2,-.2)(1.2,1.9) \rput(0.05,-0.1){$0$} \parametricplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{1}{ -6 t 3 exp mul 6 t 2 exp mul add -6 t 2 exp mul 6 t mul add } % Point 0 \psline[linewidth=1.2pt,arrowsize=5pt]{->}(0,0)(0,0.55) \psline[linewidth=1.2pt,arrowsize=5pt]{->}(0,0)(0.5,0.5) \psline[linestyle=dashed](0,0)(1.2,1.2) \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1) % Point A \psline[linestyle=dashed](0.75,0)(0.75,1.5)(0,1.5) \rput(0.75,-0.1){$\frac{3}{4}$}\rput(-0.1,1.5){$\frac{3}{2}$} \psline[arrowsize=5pt]{<->}(0.35,1.5)(1.15,1.5) \rput(0.75,1.6){$A$} % Point B \psline[linestyle=dashed](0.8888,0)(0.8888,1.3333)(0,1.3333) \rput(0.8888,-0.1){$\frac{8}{9}$}\rput(-0.1,1.3333){$\frac{4}{3}$} \psline[arrowsize=5pt]{<->}(0.8888,1.)(0.8888,1.8333) \rput(1.,1.3333){$B$} \end{pspicture}\]




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