Réciproque d'une fonction de répartition
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Oral ESCP, BL - 2021
Soit
la fonction définie sur R par, pour tout réel
,
![\[f(x)=\dfrac2{\left( e^x+e^{-x}\rp^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ESCP-BL-2021-4.7/3.png)
Soit
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ESCP-BL-2021-4.7/1.png)
![$x$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ESCP-BL-2021-4.7/2.png)
![\[f(x)=\dfrac2{\left( e^x+e^{-x}\rp^2}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ESCP-BL-2021-4.7/3.png)
- Montrer que
peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire
.
-
- Montrer que
possède une espérance et donner sa valeur.
- Montrer que
possède une variance (on ne demande pas sa valeur).
- On note
la fonction de répartition de
. Montrer, sans calculer
, que
est une bijection de
dans un intervalle
que l’on précisera.
- Montrer que
- On considère la variable aléatoire
définie par
.
- Déterminer la loi de
.
- Calculer l'expression de
pour tout réel
.
- Déterminer
, bijection réciproque de
.
- Déterminer la loi de
Correction
Correction
Oral ESCP, BL - 2021-
est clairement positive et continue sur
. De plus, pour
,
et on trouve donc, à la limite où,
ce qui finit de montrer quepeut bien être considérée comme une densité de probabilité.
- On a
lorsque
, par croissances comparées, ce qui montre, par comparaison avec une intégrale de Riemann, que
est intégrable en l'infini, et donc que
existe.
De plus, commeest paire, on en déduit que
est impaire, et alors que
.
- De même que précédemment,
lorsque
et donc
admet aussi un moment d'ordre 2 (et des moments de tout ordre, de la même façon), et en particulier,
existe.
- On sait que
est une fonction continue, strictement croissante sur
avec
et
et ainsi,est une bijection de
dans
.
(et ceci est vrai pour tout fonction de répartition).
-
- On a
. On s'intéresse à la fonction de répartition de
, pour
,
Comme, d'après la question précédente,est bijective, on peut utiliser sa réciproque
, et alors
et donc, en revenant à la fonction de répartition de,
On en déduit que la desnité deest constante sur
: il s'agit de la loi uniforme.
- On a déjà vu le calcul à la première question:
- Pour déterminer l'expression de la fonction réciproque, on cherche à inverser la relation
- On a
Tag:Variables aléatoires continues
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