Réciproque d'une fonction de répartition
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Oral ESCP, BL - 2021
Soit la fonction définie sur R par, pour tout réel ,
Soit la fonction définie sur R par, pour tout réel ,
- Montrer que peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire .
-
- Montrer que possède une espérance et donner sa valeur.
- Montrer que possède une variance (on ne demande pas sa valeur).
- On note la fonction de répartition de . Montrer, sans calculer , que est une bijection de dans un intervalle que l’on précisera.
- On considère la variable aléatoire définie par .
- Déterminer la loi de .
- Calculer l'expression de pour tout réel .
- Déterminer , bijection réciproque de .
Correction
Correction
Oral ESCP, BL - 2021- est clairement positive et continue sur .
De plus, pour ,
et on trouve donc, à la limite où ,
ce qui finit de montrer que peut bien être considérée comme une densité de probabilité.
- On a lorsque , par croissances comparées, ce qui montre, par comparaison avec une intégrale de Riemann, que est intégrable en l'infini, et donc que existe.
De plus, comme est paire, on en déduit que est impaire, et alors que .
- De même que précédemment, lorsque et donc admet aussi un moment d'ordre 2 (et des moments de tout ordre, de la même façon), et en particulier, existe.
- On sait que est une fonction continue, strictement croissante sur avec
et
et ainsi, est une bijection de dans .
(et ceci est vrai pour tout fonction de répartition).
-
- On a . On s'intéresse à la fonction de répartition de , pour ,
Comme, d'après la question précédente, est bijective, on peut utiliser sa réciproque , et alors
et donc, en revenant à la fonction de répartition de ,
On en déduit que la desnité de est constante sur : il s'agit de la loi uniforme. - On a déjà vu le calcul à la première question:
- Pour déterminer l'expression de la fonction réciproque, on cherche à inverser la relation
- On a . On s'intéresse à la fonction de répartition de , pour ,
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