Réciproque d'une fonction de répartition


Oral ESCP, BL - 2021
Soit $f$ la fonction définie sur R par, pour tout réel $x$,
\[f(x)=\dfrac2{\left( e^x+e^{-x}\rp^2}\]


  1. Montrer que $f$ peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire $X$.
    1. Montrer que $X$ possède une espérance et donner sa valeur.
    2. Montrer que $X$ possède une variance (on ne demande pas sa valeur).
    3. On note $F$ la fonction de répartition de $X$. Montrer, sans calculer $F(x)$, que $F$ est une bijection de $\R$ dans un intervalle $I$ que l’on précisera.
  3. On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $Y=F(X)$.
    1. Déterminer la loi de $Y$.
    2. Calculer l'expression de $F(x)$ pour tout réel $x$.
    3. Déterminer $F^{-1}$, bijection réciproque de $F$.

Correction


Tag:Variables aléatoires continues

Autres sujets au hasard: Lancer de dés
LongPage: h2: 0 - h3: 0