Alignement de z, z2 et z4


Colle de mathématiques

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Déterminer $z$ tel que les points d'affixe $z$, $z^2$ et $z^4$ soient alignés.


Correction

Correction

Les points $M(z)$, $M'(z^2)$ et $M''(z^4)$ sont alignés si et seulement si il existe $k\in\R$ tel que $\overrightarrow{M'M''}=k\overrightarrow{MM'} \iff z^4-z^2=k(z^2-z) \iff z^2(z^2-1)=kz(z-1)$.
Les points sont alignés pour $z=0$ et $z=1$ (tous les points sont confondus) et, si $z\not=0$ et $z\not=1$, $z(z+1)=k \iff xy+(x+1)y=0$ soit pour $y=0$ (axe des abscisses) ou si $y\not=0$, $x=-\dfrac12$.


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