Décomposition harmonique d'une impulsion périodique
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Série de FourierSérie de Fourier
Énoncé du sujet
Soit deux réels 
et 
, avec 
et 
et
la fonction 
-périodique, telle que,
pour tout 
,
![\[f(x)=\la\begin{array}{ll} 1 \text{ si } a<x<a+b \\ 0 \text{ sinon}\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex3/8.png)
Déterminer la série de Fourier de
.
et , avec et et
la fonction -périodique, telle que,
pour tout ,
Déterminer la série de Fourier de
.
Correction
Correction
- La fonction est
-périodique, donc de pulsation
, et telle que
(-2.14,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](-2.14,1)(-1.64,1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](-1.64,0)(1,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](1,1)(1.5,1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](1.5,0)(4.14,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](4.14,1)(4.64,1)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2.2pt](4.64,0)(5,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](-1.64,0)(-1.64,1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](-2.14,0)(-2.14,1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](1,0)(1,1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](1.5,0)(1.5,1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](4.14,0)(4.14,1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=.2pt,linecolor=blue](4.64,0)(4.64,1)
\rput(1,-.25){$a$}\rput[l](1.4,-.2){$a\!+\!b$}
\psline[arrowsize=6pt]{<->}(.95,-.5)(1.55,-.5)
\rput(1.25,-.75){$b$}
\end{pspicture}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex3_c/3.png)
- sa valeur moyenne est
![\[a_0=\dfrac1\pi\int_0^\pi f(t)dt=\dfrac{b}\pi\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex3_c/4.png)
- Pour tout entier
,
![\[\begin{array}{ll}a_n&\dsp=\dfrac{2\pi}{T}\int_0^\pi f(t)\cos(n\omega t)dt\\[1.2em]
&=\dsp2\int_a^{a+b} \cos(2nt)dt\\[1.2em]
&\dsp=2\lb\dfrac{\sin(2nt)}{2n}\rb_a^{a+b}\\[1.2em]
&\dsp=\dfrac1n\Bigl(\sin\bigl(2n(a+b)\bigr)-\sin\bigl(2na\bigr)\Bigr)
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex3_c/6.png)
et de même,
![\[b_n=-\dfrac1n\Bigl(\cos\bigl(2n(a+b)\bigr)-\cos\bigl(2na\bigr)\Bigr)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex3_c/7.png)
Finalement, en tout point
où 
est continue
![\[f(x)=\dfrac{b}{\pi}+\sum_{n\geqslant1}\Bigl( a_n\cos(2nx)+b_n\sin(2nx)\Bigr)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/fourier/ex3_c/10.png)
Tag:Série de Fourier
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