Calcul d'intégrales grâce à la loi normale
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Rappeler la fonction densité d'une variable aléatoire de loi normale
.
En déduire
.
Calculer ensuite
.

En déduire


Correction
est
, qui vérifie en particulier
![\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=
\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/3.png)
On a, en particulier
![\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/4.png)
puis, avec le changement de variable
![\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx
=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,\sqrt2dt\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/6.png)
et on trouve finalement
![\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\dfrac1{\sqrt2}\sqrt{2\pi}=\sqrt{\pi}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/7.png)
On se ramène au cas précédent en utiisant la forme canonique
![\[-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/8.png)
d'où
![\[\begin{array}{ll}\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2+2x+1}\,dx
&=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2+2}\,dx\\[1.2em]
&=e^2\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2}\,dx\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/9.png)
puis, avec le changement de variable
, et le résultat précédent,
![\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2}\,dx
=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/11.png)
et ainsi, finalement,
![\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2+2}\,dx
=e^2\sqrt\pi\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/12.png)
Correction
La fonction densité d'une loi normale centrée réduite

![\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=
\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=1\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/3.png)
On a, en particulier
![\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/4.png)
puis, avec le changement de variable

![\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}\,dx
=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,\sqrt2dt\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/6.png)
et on trouve finalement
![\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\dfrac1{\sqrt2}\sqrt{2\pi}=\sqrt{\pi}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/7.png)
On se ramène au cas précédent en utiisant la forme canonique
![\[-x^2+2x+1=-(x-1)^2+2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/8.png)
d'où
![\[\begin{array}{ll}\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2+2x+1}\,dx
&=\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2+2}\,dx\\[1.2em]
&=e^2\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2}\,dx\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/9.png)
puis, avec le changement de variable

![\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2}\,dx
=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/11.png)
et ainsi, finalement,
![\[\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x-1)^2+2}\,dx
=e^2\sqrt\pi\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/ints-loi-normale_c/12.png)
Tag:Variables aléatoires continues
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