Caractérisation d'un endomorphisme diagonalisable


Pour des endomorphismes $f$ et $g$ de $\R^n$, on note $f\circ g$ la composée de $f$ et $g$ et $f^2 = f\circ f$. On note $Id$ l’endomorphisme identité de $R^n$. Pour un endomorphisme $u$ de $\R^n$, soit $\left( P_u\rp$ la propriété:
\[\forall \lambda\in\R, Ker(u-\lambda Id) = Ker (u-\lambda Id)^2\]



Première partie. Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes de $\R^n$ tels que $f\circ g = 0$.
  1. Montrer que $rg(g)\leqslant\dim(\ker(f))$.
  2. Montrer que $\dim(\ker(f))+\dim(\ker(g))\geqslant n$.
  3. Soit $u$ un endomorphisme de $\R^n$ tel que $\left( u-2Id\rp^2\circ\left( u + 3Id\rp=0$.
    Montrer que $\ker((u-2Id)^2 )$ et $\ker(u+3Id)$ sont supplémentaires dans $\R^n$.
  4. Si $u$ vérifie de plus $\left( P_u\rp$, montrer que $u$ est diagonalisable.


    Deuxième partie. Soit $u$ un endomorphisme de $\R^n$.
  5. Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable. Montrer que $u$ vérifie $\left( P_u\rp$.
  6. Réciproquement, si $u$ vérifie $\left( P_u\rp$, est-ce que u est diagonalisable ?

Correction


Tag:Diagonalisation

Autres sujets au hasard: Lancer de dés
LongPage: h2: 0 - h3: 0