Caractérisation d'un endomorphisme diagonalisable
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DiagonalisationDiagonalisation de matrice et réduction des endomorphismes
Énoncé du sujet
Pour des endomorphismes
et
de
, on note
la composée de
et
et
.
On note
l’endomorphisme identité de
.
Pour un endomorphisme
de
, soit
la propriété:
![\[\forall \lambda\in\R, Ker(u-\lambda Id) = Ker (u-\lambda Id)^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/13.png)
Première partie. Soit
et
deux endomorphismes de
tels que
.












![\[\forall \lambda\in\R, Ker(u-\lambda Id) = Ker (u-\lambda Id)^2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Diagonalisation/crctdiago/13.png)
Première partie. Soit




- Montrer que
.
- Montrer que
.
- Soit
un endomorphisme de
tel que
.
Montrer queet
sont supplémentaires dans
.
- Si
vérifie de plus
, montrer que
est diagonalisable.
Deuxième partie. Soitun endomorphisme de
.
- Soit
un endomorphisme diagonalisable. Montrer que
vérifie
.
- Réciproquement, si
vérifie
, est-ce que u est diagonalisable ?
Correction
Correction
Oral ENS ULM - 2017- Soit
, alors il existe
tel que
et on a alors
, et donc
.
On a démontré ainsi que
et donc aussi, en particulier, que
- D'après le théorème du rang, on a
d'où, avec le résultat de la question précédente,
- On peut commencer par étudier l'intersection:
soit
, alors d'une part
, et d'autre part
soit aussi
et donc.
On peut de plus utiliser la question précédente, avecet
:
et donc,est un sous-espace de
, de dimension supérieure à celle de
, d'où, nécessairement
- Si
vérifie de plus
alors, en particluier
et alors
En d'autres termes, l'espace se décompose en somme directe de sous espaces propres de, ce qui montre que
est bien diagonalisable.
-
est diagonalisable, donc ses sous-espaces propres sont en somme directe dans
,
et en particulier, en prenant les dimensions
Supposons qu'il existetel que
et donc, en particulier, comme on a toujours,
Or, comme à la question 3,et
sont en somme directe, soit aussi
mais, par ailleurs,
ce qui est impossible: il n'existe donc pas de réeltel que
, ce qui signifie que
vérifie la propriété
.
- Prenons par (contre)exemple l'endomorphisme
de
dont la matrice dans la base canonique est
qui n'admet aucune valeur propre, donc qui n'est pas diagonalisable, et pour lequelle, pour tout réel, on a
puisqueest inversible, donc
aussi.
Tag:Diagonalisation
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