Sup et inf d'une loi de lois de Pareto
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Soit un entier naturel , et
variables aléatoires indépendantes
, , … ,
toutes de densité
- Vérifier que est une densité de probabailité d'une variable aléatoire.
- Étudier l'existence de et .
- Soit
et
.
Déterminer une densité de et de . - Étudier l'existence, et calculer éventuellement la valeur, de , de , de et de .
Correction
Correction
- est clairement positive, continue sauf en 1, et
donc définit bien une densité de probabilité. -
diverge donc les variables aléatoires n'ont ni espérance ni variance.
- On passe par la fonction de répartition: pour ,
et alors, par indépendance des variables, et en posant la fonction de répartition des variables ,
On obtient alors la densité en dérivant
De même, par indépendance,
et enfin, pour la fonction de répartition
-
et
et donc aussi
Par contre,
avec, en l'infini,
et donc l'intégrale diverge: n'admet pas d'espérance et donc ni de variance.
Tag:Variables aléatoires continues
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