Étude de la convergence de la série


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Monter que pour tout $x\geqslant1$, $\ln(x)\leqslant x-1$.
En déduire la nature de la série de terme général $u_n=\dfrac{\ln\left( n^n \right)}{n!}$


Correction

Correction

On peut montrer cette inégalité de plusieurs façons, avec divers outils, par exemple en utilisant la convexité de la fonction $\ln$ et le fait que $y=x-1$ est l'équation de la tangente sa courbe en 1.

On peut aussi simplement éudier la fonction différence $d(x)=\ln x-(x-1)$, dérivable sur $\R_+^*$ et dont la dérivée est $d'(x)=\dfrac1x-1=\dfrac{1-x}{x}$.
Ainsi, pour $x\geqslant1$, on a $d'(x)\leqslant0$ et $d$ est décroissante, donc, pour tout $x\geqslant1$, $d(x)\leqslantd(1)=0\iff \ln x\leqslant x-1$.


Là aussi, on peut étudier la nature de la série de diverses façons (entre autres avec la règle de d'Alembert).
Néanmoins si on se laisse guider par l'énoncé, les termes $u_n$ sont positifs et tels que
\[u_n=\dfrac{\ln\left( n^n\right)}{n!}=\dfrac{n\ln n}{n!}=\dfrac{\ln n}{(n-1)!}\]

puis, en utilisant la première inégalité,
\[u_n\leqslant\dfrac{n-1}{(n-1)!}=\dfrac{1}{(n-2)!}\]

qui est le terme général d'une série convergente. Ainsi, la série de terme général $u_n$ est aussi convergente.


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