Application linéaire ? Noyau et image ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
L'application
;
est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Correction
n'est clairement pas linéaire, à cause des carrés:
par exemple,
et
.
Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.
.
Ainsi, le noyau de
est réduit au vecteur nul.
.
Pour l'injectivité, comme
n'est pas linéaire, il faut revenir à la définition.
Ici
n'est clairement pas injective car, par exemple,
.
n'est pas non plus surective car, pour tout
,
.
Plus précisément,
car pour tout
on a
.
Donc
n'est pas injective ni surjective, et donc pas non plus bijective.
Correction



Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.

Ainsi, le noyau de


Pour l'injectivité, comme









Donc

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