Application linéaire ? Noyau et image ?


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

L'application $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto x^2+y^2$; est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?


Correction

Correction

$f$ n'est clairement pas linéaire, à cause des carrés: par exemple, $f(1,0)=1$ et $f(2,0)=4\not=2f(1,0)$.

Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.

$(x,y)\in\text{Ker}(f)\iff f(x,y)=x^2+y^2=0\iff x=\pm y$.
Ainsi, le noyau de $f$ est réduit au vecteur nul. $\text{Ker}(f)=\bigl\{(0,0)\bigr\}$.

Pour l'injectivité, comme $f$ n'est pas linéaire, il faut revenir à la définition. Ici $f$ n'est clairement pas injective car, par exemple, $f(1,0)=f(-1,0)$.

$f$ n'est pas non plus surective car, pour tout $(x,y)\in\R^2$, $f(x,y)\geqslant0$. Plus précisément, $\text{Im}(f)=\R_+$ car pour tout $z\geqslant0$ on a $z=ff\lp\sqrt{z},0\rp$.

Donc $f$ n'est pas injective ni surjective, et donc pas non plus bijective.


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