Base de polynômes
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Pour
on pose
.
Montrer que la famille
est une base
de
.
![$0\leqslant k\leqslant n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4/1.png)
![$P_k=X^k\left( 1-X\rp^k$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4/2.png)
Montrer que la famille
![$\left( P_k\rp_{0\leqslant k\leqslant n}$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4/3.png)
![$\R_n[X]$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4/4.png)
Correction
polynômes non nuls,
et
.
Il suffit donc de montrer que la famille est libre.
Pour tout
,
est un polynôme de degré
(et même
)
et de valuation
.
Soit maintenant
réels
,
, … ,
tels que
![\[\lambda_0 P_0+\lambda_1P_1+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_0P_0=-\sum_{k=1}^n\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum
et, si
,
ce qui est impossible.
On a donc necéssairement
.
En raisonnant alors par récurrence, on a alors ensuite successivement
, ce qui montre que la famille est libre,
et est donc une base.
Correction
La famille est constituée de![$n+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/1.png)
![$\text{dim}\lp\R_n[X]\rp=n+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/2.png)
Pour tout
![$0\leqslant k\leqslant n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/3.png)
![$P_k$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/4.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/5.png)
![$P_k(X)=(-1)^{n-k}X^n+\dots$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/6.png)
![$k$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/7.png)
Soit maintenant
![$n+1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/8.png)
![$\lambda_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/9.png)
![$\lambda_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/10.png)
![$\lambda_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/11.png)
![\[\lambda_0 P_0+\lambda_1P_1+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_0P_0=-\sum_{k=1}^n\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum
![$1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/14.png)
![$\lambda_0\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/15.png)
![$\text{Val}\left( \lambda_0P_0\rp=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/16.png)
![$\lambda_0=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/17.png)
En raisonnant alors par récurrence, on a alors ensuite successivement
![$\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex4_c/18.png)
Tags:Espace vectorielPolynôme
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