Base de polynômes


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Pour $0\leqslant k\leqslant n$ on pose $P_k=X^k\left( 1-X\rp^k$.
Montrer que la famille $\left( P_k\rp_{0\leqslant k\leqslant n}$ est une base de $\R_n[X]$.


Correction

Correction

La famille est constituée de $n+1$ polynômes non nuls, et $\text{dim}\lp\R_n[X]\rp=n+1$. Il suffit donc de montrer que la famille est libre.
Pour tout $0\leqslant k\leqslant n$, $P_k$ est un polynôme de degré $n$ (et même $P_k(X)=(-1)^{n-k}X^n+\dots$) et de valuation $k$.
Soit maintenant $n+1$ réels $\lambda_1$, $\lambda_2$, … , $\lambda_n$ tels que
\[\lambda_0 P_0+\lambda_1P_1+ \dots + \lambda_n P_n=0\]

Cette relation se réécrit
\[\lambda_0P_0=-\sum_{k=1}^n\lambda_iP_i\]

Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum $1$ et, si $\lambda_0\not=0$, $\text{Val}\left( \lambda_0P_0\rp=0$ ce qui est impossible. On a donc necéssairement $\lambda_0=0$.
En raisonnant alors par récurrence, on a alors ensuite successivement $\lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0$, ce qui montre que la famille est libre, et est donc une base.


Tags:Espace vectorielPolynôme

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