Expression d'une série entière avec des fonctions usuelles

Colle de mathématiques

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Séries entièresSéries entières

Énoncé du sujet

On considère la série entière $\dsp\sum_{n\geq 0}\dfrac{(n+1)(n-2)}{n!}x^n$ .
Donner son rayon de convergence et l'exprimer en termes de fonctions usuelles.

Correction

Soit $u_n=\dfrac{(n+1)(n-2)}{n!}|x|^n$ , alors

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=|x|\dfrac{(n+2)(n-1)}{(n+1)^2(n-2)}\underset{+\infty}{\sim}\dfrac{|x|}{n}\to0$

et donc, la règle de d'Alembert montre que le rayon de convergence de la série entière vaut $+\infty$ .

Pour exprimer la somme, la présence de

incite à se ramener à la série de l'exponentielle. Pour qu'il n'y ait finalement plus que des factorielles, on décompose le numérateur suivant

$(n+1)(n-2)=n^2-n-2=n(n-1)-2$

et on a donc

$\begin{array}{lcl} \dsp\sum_{n\geq 0}\frac{(n+1)(n+2)}{n!}x^n &=&\dsp\sum_{n\geq 0}\frac{n(n-1)}{n!}x^n-2\sum_{n\geq 0}\frac{1}{n!}x^n\\ &=&\dsp\sum_{n\geq 2}\frac{1}{(n-2)!}x^n-2e^x\\ &=&\displaystyle x^2\sum_{n\geq 0}\frac{1}{n!}x^n-2e^x=(x^2-2)e^x. \enar$

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