Famille libre à compléter
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
On considère dans les vecteurs
- Peut-on trouver un vecteur tel que soit libre? Si oui, construisez-en un.
- Même question en remplaçant par .
Correction
Correction
- On a . La famille est donc liée.
Quel que soit le vecteur qu'on ajoute à cette famille, elle sera encore liée, puisqu'on aura toujours , combinaison linéaire dont les coefficients ne sont pas tous nuls. - La famille est libre.
D'après le théorème de la base incomplète, on sait qu'on peut utiliser, par exemple, les vecteurs de la base canonique de , qui est bien génératrice de pour compléter notre famille en une base.
On peut essayer d'utiliser par exemple . Il reste alors à vérifier que la famille ainis formée est libre.
En effet, si , on a
d'où et la famille est libre.
Tag:Espace vectoriel
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