Famille libre à compléter
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
Énoncé du sujet
On considère dans
les vecteurs
![$$v_1=(1,-1,1),\ v_2=(2,-2,2),\ v_3=(2,-1,2).$$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF1/2.png)
![$\mathbb R^3$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF1/1.png)
![$$v_1=(1,-1,1),\ v_2=(2,-2,2),\ v_3=(2,-1,2).$$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exF1/2.png)
- Peut-on trouver un vecteur
tel que
soit libre? Si oui, construisez-en un.
- Même question en remplaçant
par
.
Correction
Correction
- On a
. La famille
est donc liée.
Quel que soit le vecteurqu'on ajoute à cette famille, elle sera encore liée, puisqu'on aura toujours
, combinaison linéaire dont les coefficients ne sont pas tous nuls.
- La famille
est libre.
D'après le théorème de la base incomplète, on sait qu'on peut utiliser, par exemple, les vecteurs de la base canonique de, qui est bien génératrice de
pour compléter notre famille en une base.
On peut essayer d'utiliser par exemple. Il reste alors à vérifier que la famille ainis formée
est libre.
En effet, si, on a
d'oùet la famille est libre.
Tag:Espace vectoriel
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