Sous-espace vectoriel de polynômes et espace supplémentaire

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Espace vectorielEspaces vectoriels

Énoncé du sujet

Dans $\R_2[X]$ , l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, on considère l'ensemble

$E=\left\{ P\in\R_2[X]; P(0)=P(2)=0\right\}$

Montrer que est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ? En donner une base.
Donner un espace supplémentaire de .

Correction

On montre que est un sous-espace vectoriel de $\R_2[X]$ . Tout d'abord le polynôme nul appartient bien à .
Ensuite, pour $P\in E$ et $Q\in E$ , c'est-à-dire alors le polynôme vérifie aussi

$R(0)=(P+Q)(0)=P(0)+Q(0)=0$

et de même .
En multipliant par un réel $\lambda$ quelconque on arrive au même résultat: si $S=\lambda P$ , alors $S(0)=\lambda P(0)=0$ et de aussi $S(2)=\lambda P(2)=0$ .
On vient donc de montrer que $R=(P+Q)\in E$ et $S=(\lambda P)\in E$ , c'est-à-dire que est stable par combinaison linéaire, ce qui montre que est un sous-espace vectoriel de $\R_2[X]$ et a en particulier la structure d'un espace vectoriel.

Les polynômes de admettent 0 et 2 comme racines. Ils se factorisent donc par . Ainsi,

$E=\text{Vect}\left\{ X(X-2)\right\}$

En particulier est de dimension 1, et une base est formée de un vecteur: le polynôme précédent.
On peut définir un supplémentaire par une base.
D'après le théorème de la base incomplète, on peut compléter le polynôme précédent par deux autres pris dans la base canonique de $\R_2[X]$ pour obtenir une base de . Ces deux polynômes formeront alors une base d'un supplémentaire de .
Par exemple et , et le sous-espace vectoriel $F=\text{Vect}\left( E_1, E_2\rp$ .
Il reste à vérifier que le choix de ces deux polynômes dans la base canonique convient, à savoir que $E\cap F=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} 0\ra$ .
Soit un polynôme $P\in E\cap F$ , alors car $P\in E$ et car $P\in F$ .
On doit donc avoir, pour tout réel , .
En prenant , on obtient , et avec , on obtient ensuite . Enfin, comme on a obtenu jusque là que pour tout réel , le choix n'importe quel autre réel, que 0 et 2, donne maintenant .
On a donc trouvé que est le polynôme nul, c'est-à-dire $E\cap F= \left\{ 0 \rright\}$ .
Ces deux sous espaces sont donc en somme directe, et avec un argument de dimensions: $\dim(E)=1$ et $\dim(F)=2$ , on en déduit qu'ils sont en somme directe dans $\R_2[X]$ puisque $\dim\left( \R_2[X]\rp=3$ , c'est-à-dire qu'ils sont supplémentaires.

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