Suite d'intégrales et convergence de la série harmonique alternée
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Pour
, on définit
.
![$n\in\N$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exSI/1.png)
![$\displaystyle I_n=\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\,dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exSI/2.png)
- Montrer que la suite
tend vers 0.
- Pour
, calculer
.
- En déduire
Correction
, on définit
.
Correction
Pour![$n\in\N$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exSI_c/1.png)
![$\displaystyle I_n=\int_0^1\dfrac{x^n}{1+x}\,dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exSI_c/2.png)
- Pour
, on a
et donc
, et alors
On obtient alors, par le théorème des gendarmes,.
- Pour
, par linéarité, on a
- Soit
, donc d'après ce qui précède,
, soit en détaillant,
et donc, après simplification
Commetend vers 0, on en déduit que
tend vers
Tags:SuitesIntégraleSommes
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)