Suite d'intégrales et convergence de la série harmonique alternée
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:Énoncé du sujet
Pour , on définit
.
- Montrer que la suite tend vers 0.
- Pour , calculer .
- En déduire
Correction
Correction
Pour , on définit .- Pour , on a
et donc ,
et alors
On obtient alors, par le théorème des gendarmes, .
- Pour , par linéarité, on a
- Soit ,
donc d'après ce qui précède,
,
soit en détaillant,
et donc, après simplification
Comme tend vers 0, on en déduit que tend vers
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