Nature de l'intégrale …

Colle de mathématiques

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Énoncé du sujet

Étudier la nature de l'intégrale $\dsp\int_0^{+\infty} x\sin x\,e^{-x}\,dx$

Correction

$x\mapsto x\sin x e^{-x}$ est continue sur $[0;+\infty[$ . Il suffit donc d'étudier la convergence de l'intégrale en $+\infty$ . On compare pour cela à une intégrale Riemann: en $+\infty$ , en majorant le sinus puis par croissances comparées, on a $\left|\dfrac{x\sin x e^{-x}}{\frac1{x^2}}\right|\leqslant x^3e^{-x}\to0$ , ce qui signifie que, en $+\infty$ , $x\sin x e^{x}=o\lp\dfrac1{x^2}\rp$ .
Or, $x\mapsto\dfrac1{x^2}$ est intégrable en $+\infty$ , et donc l'intégrale est convergente.

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