Nature de l'intégrale …
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- IntégraleIntégrale
Énoncé du sujet
Étudier la nature de l'intégrale
![$\dsp\int_0^{+\infty} x\sin x\,e^{-x}\,dx$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN3/1.png)
Correction
est continue sur
.
Il suffit donc d'étudier la convergence de l'intégrale en
.
On compare pour cela à une intégrale Riemann:
en
, en majorant le sinus puis par croissances comparées, on a
,
ce qui signifie que, en
,
.
Or,
est intégrable en
, et donc
l'intégrale est convergente.
Correction
![$x\mapsto x\sin x e^{-x}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN3_c/1.png)
![$[0;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN3_c/2.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN3_c/3.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN3_c/4.png)
![$\left|\dfrac{x\sin x e^{-x}}{\frac1{x^2}}\right|\leqslant x^3e^{-x}\to0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN3_c/5.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN3_c/6.png)
![$x\sin x e^{x}=o\lp\dfrac1{x^2}\rp$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN3_c/7.png)
Or,
![$x\mapsto\dfrac1{x^2}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN3_c/8.png)
![$+\infty$](/Generateur-Devoirs/Colles/Integrale/exN3_c/9.png)
Tag:Intégrale
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