Étude et matrice d'une application nilpotente


Soit $f$ un endomorphisme de $\R^3$ différent de l'endomorphisme nul, tel que $f^2=0$.
  1. Comparer les espaces $\text{Im}(f)$ et $\ker(f)$, puis établir leurs dimensions.
  2. Expliquer pourquoi il existe $x\in\R^3$ tel que $f(x)\not=0$.
  3. Montrer que la famille $\left( x,f(x)\rp$ est libre.
  4. En déduire une base telle que la matrice de $f$ dans cette base soit
    \[\lp\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\enar\rp\]


Correction


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