Application linéaire sur des polynômes.
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
- MatricesMatrices
- PolynômePolynômes
- DéterminantsDéterminants de matrices
Énoncé du sujet
Soit
![$f:\la\begin{array}{ll}\R_3[X]\to \R_3[X] \\[.6em] P\mapsto P-XP'\enar\right.$](/Generateur-Devoirs/Colles/determinants/exApplication-lineaire-polynomes/1.png)
- Montrer que
est une application linéaire.
- Déterminer son noyau et son image.
- Donner la matrice de
dans la base canonique de
.
est-elle bijective ?
Correction
Correction
- Pour tout couple de polynômes
et tout couple de réels
, on a de
et doncest bien linéaire.
- Soit
, alors
Ainsiet donc
,
et
- Dans la base canonique de
,
, avec
,
,
;
, on a
-
n'est clairement pas bijective: son noyau n'est pas réduit à 0, ou le déterminant de sa matrice est nul (en développant suivant la 2ème colonne, image de
qui est le noyau justement...)
Tags:Applications linéairesMatricesPolynômeDéterminants
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