Application linéaire sur des polynômes.


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $f:\la\begin{array}{ll}\R_3[X]\to \R_3[X] \\[.6em] P\mapsto P-XP'\enar\right.$
  1. Montrer que $f$ est une application linéaire.
  2. Déterminer son noyau et son image.
  3. Donner la matrice de $f$ dans la base canonique de $\R_3[X]$.
    $f$ est-elle bijective ?



Correction

Correction

  1. Pour tout couple de polynômes $(P,Q)\in\lp\R_3[X]\rp^2$ et tout couple de réels $(\lambda,\mu)$, on a de
    \[\begin{array}{ll} f(\lambda P+\mu Q)&=(\lambda P+\mu Q)-X(\lambda P+\mu Q)'\\[.5em] &=\lambda P+\mu Q-\lambda XP'-\mu XQ'\\[.5em] &=\lambda(P-XP')+\mu(Q-XQ') \\[.5em] &=\lambda f(P)+\mu f(Q) \enar\]

    et donc $f$ est bien linéaire.
  2. Soit $P(X)=aX^3+bX^2+cX+d$, alors
    \[\begin{array}{ll} f(P)&=\left( aX^3+bX^2+cX+d\rp-X\left(3aX^2+2bX+c\rp \\[.5em] &=-2aX^3+-bX^2+d\enar\]

    Ainsi $f(P)=0\iff P(X)=cX$ et donc $\ker(f)=\text{Vect}(X)$,
    et $\textrm{Im}(f)=\textrm{vect}\left( 1;X^2;X^3\rp$
  3. Dans la base canonique de $\R_3[X]$, $\left( E_0;E_1;E_2;E_3\rp$, avec $E_0(X)=1$, $E_1(X)=X$, $E_2(X)=X^2$; $E_3(X)=X^3$, on a
    \[\la\begin{array}{ll} f\left( E_0\rp&=1-X\tm0=E_0 \\ f\left( E_1\rp&=X-X\tm1=0 \\ f\left( E_2\rp&=X^2-X(2X)=-X=-E_1\\ f\left( E_3\rp&=X^3-X(3X^2)=-2X^3=-2E_2 \enar\right. \iff \lb\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&-1&0 \\ 0&0&0&-2 \\ 0&0&0&0 \enar\rb\]


  4. $f$ n'est clairement pas bijective: son noyau n'est pas réduit à 0, ou le déterminant de sa matrice est nul (en développant suivant la 2ème colonne, image de $E_1$ qui est le noyau justement...)


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