Calculer l'intégrale trigonométrique avec changement de variable

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Calculer $\dsp\int_{\frac\pi2}^\pi\dfrac1{2+\sin t}dt$ à l'aide du changement de variables $x=\tan\lp\dfrac{t}2\rp$

Correction

Soit donc $x=\tan\lp\dfrac{t}2\rp$ alors d'une part, $dx=\dfrac12\lp1+\tan^2\lp\dfrac{t}2\rp\rp\,dt=\dfrac12\lp1+x^2\rp\,dt$
et, d'autre part il faut exprimer $\sin t$ en fonction de

. Il faut clairement faire appel à l'angle moitié:

$\begin{array}{ll}\sin t&=2\sin\dfrac{t}{2}\cos\dfrac{t}{2} \\[.8em] &=2\tan\dfrac{t}{2}\cos^2\dfrac{t}{2}\\[.8em] &=2x\cos^2\dfrac{t}{2} \enar$

Enfin, pour exprimer ce $\cos^2$ , on a aussi $1+\tan^2=\dfrac1{\cos^2}$ , soit ici

$\begin{array}{ll}\sin t&=2x\dfrac1{1+\tan^2\dfrac{t}{2}}\\[.8em] &=\dfrac{2x}{1+x^2}\enar$

On a alors, en n'oubliant pas les bornes de l'intégrale,

$\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_{\frac\pi2}^\pi\dfrac1{2+\sin t}dt\\[.8em] &=\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{2dx}{\lp1+x^2\rp\lp2+\dfrac{2x}{1+x^2}\rp}\\[.8em] &=\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2+x+1}\enar$

Il reste maintenant à calculer l'intégrale de cette fonction rationnelle: forme canonique et arctangente:

$\begin{array}{ll}I&=\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{\left( x+\frac12\rp^2+\frac34}\\[1em] &=\dsp\int_1^{+\infty}\dfrac{dx}{\dfrac34\Bigl[\left( \frac{2}{\sqrt3}\left( x+\frac12\rp\rp^2+1\Bigr]} \enar$

puis, en posant $u=\dfrac{2}{\sqrt3}\left( x+\frac12\rp$ donc $du=\dfrac2{\sqrt3}dx$ ,

$\begin{array}{ll}I&=\dsp\dfrac43\int_{\sqrt3}^{+\infty}\dfrac{\frac{\sqrt3}{2}du}{u^2+1}\\[1em] &=\dfrac2{\sqrt3}\Bigl[\,\arctan u\,\Bigr]_{\sqrt3}^{+\infty} \\[1em] &=\dfrac2{\sqrt3}\Bigl[\dfrac\pi2-\dfrac\pi3\Bigr]\\[1em] &=\dfrac\pi{3\sqrt3}\enar$

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