Famille libre de polynômes de valuations distinctes
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Montrer que toute famille de polynômes non nuls de valuation deux à deux distinctes est libre.
Correction
polynômes
,
, … ,
de valuations respectives
,
, … ,
.
Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les valuations croissantes:
.
Soit maintenant
,
, … ,
tels que
![\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_1P_1=-\sum_{k=2}^n\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum
et, si
,
ce qui est impossible.
On a donc necéssairement
.
Par une récurrence immédiate, on a alors ensuite successivement
, ce qui montre que la famille est libre.
Correction
On considère une famille de![$n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/1.png)
![$P_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/2.png)
![$P_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/3.png)
![$P_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/4.png)
![$v_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/5.png)
![$v_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/6.png)
![$v_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/7.png)
Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les valuations croissantes:
![$v_1<v_2<\dots<v_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/8.png)
Soit maintenant
![$\lambda_1$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/9.png)
![$\lambda_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/10.png)
![$\lambda_n$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/11.png)
![\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_1P_1=-\sum_{k=2}^n\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum
![$v_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/14.png)
![$\lambda_1\not=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/15.png)
![$v_1=\text{Val}\left( \lambda_1P_1\rp<d_2$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/16.png)
![$\lambda_1=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/17.png)
Par une récurrence immédiate, on a alors ensuite successivement
![$\lambda_2=\lambda_3=\dots=\lambda_n=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/18.png)
Tags:Espace vectorielPolynôme
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)