Famille libre de polynômes de valuations distinctes
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Espace vectorielEspaces vectoriels
- PolynômePolynômes
Énoncé du sujet
Montrer que toute famille de polynômes non nuls de valuation deux à deux distinctes est libre.
Correction
polynômes
,
, … ,
de valuations respectives
,
, … ,
.
Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les valuations croissantes:
.
Soit maintenant
,
, … ,
tels que
![\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_1P_1=-\sum_{k=2}^n\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum
et, si
,
ce qui est impossible.
On a donc necéssairement
.
Par une récurrence immédiate, on a alors ensuite successivement
, ce qui montre que la famille est libre.
Correction
On considère une famille de






Quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les valuations croissantes:

Soit maintenant



![\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_1P_1=-\sum_{k=2}^n\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum




Par une récurrence immédiate, on a alors ensuite successivement

Tags:Espace vectorielPolynôme
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