Discrétisation d'une équation différentielle
Colle de mathématiques
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- Équation différentielleÉquation différentielle
Énoncé du sujet
On considère deux réels
et
fixés,
ainsi qu'une fonction
qui vérifie les propriétés suivantes:
![\[\la\begin{array}{l}
\forall t\in\R, f'(t)=-af(t)\\
f(0)=y_0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/eqdiff/4.png)



![\[\la\begin{array}{l}
\forall t\in\R, f'(t)=-af(t)\\
f(0)=y_0
\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Suites/eqdiff/4.png)
- On pose
.
- Calculer la dérivée
de
.
- En déduire l'expression de
.
- Calculer la dérivée
- On fixe un réel
et on introduit la suite
définie par
- Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que
lorsque
.
- Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que
pour tout
.
- Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que
- On suppose dorénavant que cette dernière condition est vérfiée
et on considère la suite
définie par
.
- Montrer que
.
- En déduire que
.
- Montrer que
Correction
Correction
Oral ENS ULM - 2021-
-
-
est donc constante,
donc
.
-
-
- On a
, et cette suite est donc une suite géométrique de raison
. Donc
si et seulement si
ou
.
-
. Donc
pour tout
si et seulement si
et
.
- On a
-
- D'une part,
D'autre part, l'intégrale proposée dans l'énoncé se réécrit
Donc on a bien finalement
- D'après l'inégalité triangulaire, on a la majoration
Le théorème des accroisssements finis permet alors de majorer le terme à intégrer: il existetel que
avec, commeet
,
et on obtient donc, pouron a
d'où
et on obtient ainsi l'inégalité demandée.
- D'une part,
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