Caractériation complexe de l'égalité triangulaire

Colle de mathématiques

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ComplexesNombres complexs

Énoncé du sujet

Soit $(z;z')\in\C^2$ . Montrer que

si et seulement si $\overline{z}z'\in\R_+$ .

Correction

L'inégalité triangulaire $|z|+|z'|\geqslant |z+z'|$ est une égalité si et seulement si $z'=\alpha z$ , $\alpha\in\R_+$ . Dans ce cas on a alors $\overline{z}z'=\alpha|z|^2\in\R_+$ .
Cette condition est aussi suffisante: soit $z=\alpha e^{i\theta}$ et $z'=\alpha' e^{i\theta'}$ , avec $\alpha\geqslant0$ et $\alpha'\geqslant0$ .
On a alors $\overline{z}z'=\alpha\alpha'e^{i(\theta'-\theta)}$ , et donc $\overline{z}z'\in\R_+\iff \theta\equiv\theta'\,[2\pi]$ d'où $z=\alpha e^{i\theta}$ et $z'=\alpha' e^{i\theta'}=\alpha' e^{i\theta}=\lambda z$ avec $\lambda=\dfrac{\alpha'}{\alpha}\in\R_+$ .

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