Équation différentielle - 1er ordre, coefficients non constants


Colle de mathématiques

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Résoudre l'équation différentielle $(E): (1+x^2)y'+xy-x^3=0$


Correction

Correction

$(E): (1+x^2)y
L'équation homogène associée est $(1+x^2)y'+xy=0 \iff \dfrac{y'}{y}=-\dfrac{x}{1+x^2}$
et donc, $\ln|y|=-\dfrac12\ln\lp1+x^2\rp=\ln\lp\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}\rp+C$
et alors $y=\dfrac{k}{\sqrt{1+x^2}}$.

On peut rechercher une solution particulière polynomiale: $y(x)=ax^2+bx+c$, alors $(1+x^2)y'+xy=(1+x^2)(2ax+b)+x(ax^2+bx+c) =3ax^3+2bx^2+(2a+c)x+b$
et on doit donc avoir $a=\dfrac13$, $b=0$, $c=-\dfrac23$.
Une solution particulière est donc $y=\dfrac13x^2-\dfrac23$, et la solution générale de $(E)$,

\[y(x)=\dfrac{k}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac13x^2-\dfrac23\]

pour toute constante réelle $k$.


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