Fonction grandement simplifiable (avec fonctions trigonométriques réciproques)
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- DérivéeEtude de fonctions (dérivée, continuité, variations, limites, ...)
Énoncé du sujet
Simplifier
(préciser
,
et calculer
).

(préciser



Correction
est définie sur
et
sur
et donc
est bien définie lorsque
existe et
.
existe si et seulement si
et
.
Or
est du même signe que
qui est un trinôme du second degré,
donc positif à l'intérieur de ses racines 0 et 1.
D'autre part,
.
En résumé, les deux termes sont définis, donc
, lorsque
.
Pour la dérivabilité de
, on sait de plus que
n'est pas dérivable en
donc
n'est pas dérivable en
.
De même,
n'est pas dérivable en
, et ici
.
En résumé,
est dérivable sur
.
Pour tout
,
![\[f'(x)=2\dfrac{u'(x)}{1+u^2(x)}+\dfrac{v'(x)}{\sqrt{1-v^2(x)}}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/27.png)
où
et
.
On a alors
et
, d'où
![\[\begin{array}{ll}f'(x)
&=-\dfrac{1}{x^2\sqrt{\frac{1-x}{x}}\lp1+\dfrac{1-x}{x}\right)}
+\dfrac2{\sqrt{1-\lp2x-1\rp^2}}\\[1em]
&=-\dfrac1{x\sqrt{\frac{1-x}{x}}}
+\dfrac2{\sqrt{4x(1-x)}}\\[1em]
&=-\dfrac1{\sqrt{x^2\frac{1-x}{x}}}
+\dfrac1{\sqrt{x(1-x)}}\\[1em]
&=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/32.png)
Ainsi,
est constante sur
, où elle est continue,
avec
, et on a donc obtenu
![\[\forall x\in]0;1]\,,\ f(x)=\dfrac\pi2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/36.png)
Correction



![$[-1;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/4.png)


![$2x-1\in[-1;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/7.png)





D'autre part,

En résumé, les deux termes sont définis, donc

![$x\in\mathcal{D}_f=]0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/15.png)
Pour la dérivabilité de





De même,



En résumé,

![$\mathcal{D}_{f'}=]0;1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/25.png)
Pour tout
![$x\in]0;1[$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/26.png)
![\[f'(x)=2\dfrac{u'(x)}{1+u^2(x)}+\dfrac{v'(x)}{\sqrt{1-v^2(x)}}\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/27.png)
où


On a alors


![\[\begin{array}{ll}f'(x)
&=-\dfrac{1}{x^2\sqrt{\frac{1-x}{x}}\lp1+\dfrac{1-x}{x}\right)}
+\dfrac2{\sqrt{1-\lp2x-1\rp^2}}\\[1em]
&=-\dfrac1{x\sqrt{\frac{1-x}{x}}}
+\dfrac2{\sqrt{4x(1-x)}}\\[1em]
&=-\dfrac1{\sqrt{x^2\frac{1-x}{x}}}
+\dfrac1{\sqrt{x(1-x)}}\\[1em]
&=0
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/32.png)
Ainsi,

![$]0;1]$](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/34.png)

![\[\forall x\in]0;1]\,,\ f(x)=\dfrac\pi2\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Calcul/ex4_c/36.png)
Tag:Dérivée
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