Calculer l'intégrale …

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

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Énoncé du sujet

Calculer $\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-x^2}\,dx$ sachant que $\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi$

Correction

En intégrant par parties,

$\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-x^2}\,dx =\int_{-\infty}^{+\infty}x \left( xe^{-x^2}\right) dx =\left[ x\dfrac{e^{-x^2}}{-2}\rb_{-\infty}^{+\infty} -\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{e^{-x^2}}{-2}\,dx =\dfrac12\sqrt\pi$

car $\dsp\lim_{x\to-\infty}xe^{-x^2}=\lim_{x\to+\infty}xe^{-x^2}=0$ .

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