Intégrale impropre avec exponentielles, et changement de variable


On pose $I=\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-t}-e^{-2t}}{t}\,dt$.
  1. Montrer que $I$ converge.
  2. Pour $\varepsilon>0$, en posant $x=2t$, montrer que $\dsp\int_\varepsilon^{+\infty}\dfrac{e^{-t}-e^{-2t}}{t}\,dt
  =\dsp\int_\varepsilon^{2\varepsilon}\dfrac{e^{-x}}{x}dx$.
  3. Démontrer que, pour tout $t\geqslant0$, $1-t\leqslant e^{-t}\leqslant1$.
  4. Déduire des questions précédentes la valeur de $I$.
  5. En posant $x=e^{-t}$, calculer $\dsp\int_0^1\dfrac{x-1}{\ln(x)}\,dx$.

Correction


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