Inégalités de convexité

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Rolle - AFThéorème de Rolle et théorème des accroissements finis

Énoncé du sujet

Soit $f:[0;1]\to\R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f''(x)\geqslant0$ pour tout $x\in[0;1]$ .

Justifier que est croissante.

Première partie.
Montrer que, pour tout $t\in[0;1]$ , on a

$f(t)\geqslant f'\lp\dfrac12\rp\lp t-\dfrac12\rp+f\lp\dfrac12\rp$
Montrer que $f\lp\dfrac12\rp\leqslant\dsp\int_0^1f(s)\,ds$ .

Deuxième partie.
Montrer que, pour tout $t\in[0;1]$ , on a:

$\dfrac{f(t)-f(0)}t\leqslant\dfrac{f(1)-f(t)}{1-t}$
Montrer que

$\int_0^1f(s)\,ds\leqslant \dfrac{f(0)+f(1)}2$

Correction

Oral Ulm, 2017

On a $f''(x)=\left( f'\rp'(x)\geqslant0$ et donc est croissante.
Pour montrer cette inégalité, on peut penser à étudier le signe de la différence: soit la fonction définie par l'expression

$g(t)=f(t)- f'\lp\dfrac12\rp\lp t-\dfrac12\rp-f\lp\dfrac12\rp$

Cette fonction est dérivable, avec

$g'(t)=f'(t)-f'\lp\dfrac12\rp$

Comme est croissante, on en déduit que $g'\leqslant0$ donc décroissante sur et que $g'\geqslant0$ donc croissante sur .
En particulier, admet et atteint son minimum en , et donc, pour tout $t\in[0;1]$ ,

$g(t)\geqslant g\lp\dfrac12\rp=0$

ce qui nous donne l'inégalité souhaitée.
On intégre la relation précédente:

$\int_0^1f(t)dt\geqslant f'\lp\dfrac12\rp\int_0^1\lp t-\dfrac12\rp dt+f\lp\dfrac12\rp\int_0^1dt$

où

$\int_0^1\left( t-\dfrac12\right) dt=\lb\dfrac{t^2}2-\dfrac{t}2\rb_0^1=0$

et

$\int_0^1f dt=1$

On obtient donc bien finalement

$\int_0^1f(t)dt\geqslant f\lp\dfrac12\rp$
Soit $t\in]0;1[$ . D'après le théorème des accroissements finis sur , car y est continue et dérivable,

$\exists\,\alpha\in]0;t[\,;\ f(t)-f(0)=f'(\alpha)(t-0)=tf'(\alpha)$

De même, sur ,

$\exists\,\beta\in]t;1[\,;\ f(1)-f(t)=f'(\beta)(1-t)$

Or est croissante, et donc, en particulier, comme $0<\alpha<t<\beta<1$ ,

$f'(\alpha)\leqslant f'(\beta)$

d'où

$\dfrac{f(t)-f(0)}t=f'(\alpha)\leqslant f'(\beta)=\dfrac{f(1)-f(t)}{1-t}$
En isolant dans l'inégalité précédente, dans le but d'intégrer ensuite entre 0 et 1,

$\begin{array}{rl}&\dfrac{f(t)-f(0)}t\leqslant\dfrac{f(1)-f(t)}{1-t}\\[.8em] \iff&(1-t)\left( f(t)-f(0)\rp\leqslant t\left( f(1)-f(t)\rp\\[.8em] \iff&f(t)\leqslant tf(1)-(1-t)f(0)\enar$

et donc

$\begin{array}{lcl}\dsp\int_0^1f(t)\,dt&\leqslant&\dsp f(1)\int_0^1t\,dt-f(0)\int_0^1(1-t)\,dt\\ &=&\dfrac12f(1)+\dfrac12f(0)\enar$

Tag:Rolle - AF

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