Inégalités de convexité


Soit $f:[0;1]\to\R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f''(x)\geqslant0$ pour tout $x\in[0;1]$.
  1. Justifier que $f'$ est croissante.

    Première partie.
  2. Montrer que, pour tout $t\in[0;1]$, on a
    \[f(t)\geqslant f'\lp\dfrac12\rp\lp t-\dfrac12\rp+f\lp\dfrac12\rp\]

  3. Montrer que $f\lp\dfrac12\rp\leqslant\dsp\int_0^1f(s)\,ds$.

    Deuxième partie.

  4. Montrer que, pour tout $t\in[0;1]$, on a:
    \[\dfrac{f(t)-f(0)}t\leqslant\dfrac{f(1)-f(t)}{1-t}\]

  5. Montrer que
    \[\int_0^1f(s)\,ds\leqslant \dfrac{f(0)+f(1)}2\]


Correction


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