Série multiple de e

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

SériesSéries

Énoncé du sujet

Soit un entier

et la série $\displaystyle S_p=\sum_{n\geqslant0}\dfrac{n^p}{n!}$ .
Montrer que

converge et que

est un multiple de

Correction

On montre la converge de la série en utilisant le critère de d'Alembert. Soit $u_n=\dfrac{n^p}{n!}$ le terme général de la série, alors

$\begin{array}{ll}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}&=\dfrac{(n+1)^p}{(n+1)!}\tm\dfrac{n!}{n^p}\\[1.2em] &=\lp\dfrac{n+1}n\rp^n\tm\dfrac{n!}{(n+1)!}\\[1.2em] &=\lp1+\dfrac1n\rp^p\tm\dfrac1{n+1} \enar$

et on a donc, pour tout entier

$\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=0$

ce qui montre que la série de terme général

converge.

On reconnaît, pour

la série exponentielle:

$S_0=\sum_{n\geqslant0}\dfrac1{n!}=e$

tandis que pour

, on

$S_1=\sum_{n\geqslant0}\dfrac{n}{n!} =\sum_{n\geqslant1}\dfrac1{(n-1)!}$

et donc, avec un changement d'indice, on trouve aussi que

$S_1=\sum_{n\geqslant0}\dfrac1{n!}=e$

Ces observations peuvent nous inciter à chercher à démontrer le résultat par récurrence. La propriété "

est un multiple de

" est donc initialisée.

Hérédité: supposons que pour un entier

on ait que pour tout entier $k\leqslant p$ la série

est un multiple de

, c'est-à-dire $S_p=\alpha_pe$ avec $\alpha_p\in\N$ .
On cherche alors à montrer que $S_{p+1}$ est encore un multiple de

$S_{p+1}=\sum_{n\geqslant0}\dfrac{n^{p+1}}{n!} =\sum_{n\geqslant1}\dfrac{n^p}{(n-1)!}$

On change d'indice pour obtenir

$S_{p+1}=\sum_{n\geqslant0}\dfrac{(n+1)^p}{n!}$

En utilisant la formule du binôme de Newton, on a alors

$S_{p+1}=\sum_{n\geqslant0}\dfrac{\dsp\sum_{k=0}^p\binom{k}{p}n^k}{n!}$

soit encore,

$\begin{array}{ll}S_{p+1}&=\dsp\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}\sum_{n\geqslant0}\dfrac{n^k}{n!}\\[1.2em] &=\dsp\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}S_k\\[1.2em] &=\dsp\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}\alpha_ke\\[1.2em] &=e\dsp\sum_{k=0}^p\binom{p}{k}\alpha_k \enar$