Concentration des lois uniformes

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues

Énoncé du sujet

Soit

une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur

. On note

sa moyenne et $\sigma$ son écart-type.
Calculer la probabilité $P(X\in [m-\sigma,m+\sigma])$ .

Correction

La densité de probabilité de la loi uniforme sur

est $f(x)=\dfrac{1}{b-a}\mathbf 1_{[a,b]}(x)$ .
On sait aussi que $m=E(X)=\dfrac{a+b}2$ et $\sigma=\sigma(X)=\dfrac{b-a}{2\sqrt3}$ (ou le redémontrer).
On remarque aussi que

$m+\sigma=\dfrac{a+b}2+\dfrac{b-a}{2\sqrt3}\leqslant\dfrac{a+b}2+\frac{b-a}2\leqslant b$

et de même que $m-\sigma\geq a$ .
On caclule alors la probabilité:

$\begin{array}{lcl} P(X\in [m-\sigma,m+\sigma])&=&\dsp\frac{1}{b-a}\int_{m-\sigma}^{m+\sigma}dt\\[.6em] &=&\dfrac{1}{b-a}\times (m+\sigma-m+\sigma)\\[.6em] &=&\dfrac{2\sigma}{b-a}\\[.6em] &=&\dfrac1{\sqrt3}. \enar$

On remarque au passage que cette probabilité ne dépend pas de

et de

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