Concentration des lois uniformes
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues
Énoncé du sujet
Soit
une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur
. On note
sa moyenne et
son écart-type.
Calculer la probabilité
.
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme/1.png)
![$[a,b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme/2.png)
![$m$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme/3.png)
![$\sigma$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme/4.png)
Calculer la probabilité
![$P(X\in [m-\sigma,m+\sigma])$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme/5.png)
Correction
est
.
On sait aussi que
et
(ou le redémontrer).
On remarque aussi que
![\[m+\sigma=\dfrac{a+b}2+\dfrac{b-a}{2\sqrt3}\leqslant\dfrac{a+b}2+\frac{b-a}2\leqslant b\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/5.png)
et de même que
.
On caclule alors la probabilité:
![\[\begin{array}{lcl}
P(X\in [m-\sigma,m+\sigma])&=&\dsp\frac{1}{b-a}\int_{m-\sigma}^{m+\sigma}dt\\[.6em]
&=&\dfrac{1}{b-a}\times (m+\sigma-m+\sigma)\\[.6em]
&=&\dfrac{2\sigma}{b-a}\\[.6em]
&=&\dfrac1{\sqrt3}.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/7.png)
On remarque au passage que cette probabilité ne dépend pas de
et de
.
Correction
La densité de probabilité de la loi uniforme sur![$[a;b]$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/1.png)
![$f(x)=\dfrac{1}{b-a}\mathbf 1_{[a,b]}(x)$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/2.png)
On sait aussi que
![$m=E(X)=\dfrac{a+b}2$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/3.png)
![$\sigma=\sigma(X)=\dfrac{b-a}{2\sqrt3}$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/4.png)
On remarque aussi que
![\[m+\sigma=\dfrac{a+b}2+\dfrac{b-a}{2\sqrt3}\leqslant\dfrac{a+b}2+\frac{b-a}2\leqslant b\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/5.png)
et de même que
![$m-\sigma\geq a$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/6.png)
On caclule alors la probabilité:
![\[\begin{array}{lcl}
P(X\in [m-\sigma,m+\sigma])&=&\dsp\frac{1}{b-a}\int_{m-\sigma}^{m+\sigma}dt\\[.6em]
&=&\dfrac{1}{b-a}\times (m+\sigma-m+\sigma)\\[.6em]
&=&\dfrac{2\sigma}{b-a}\\[.6em]
&=&\dfrac1{\sqrt3}.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/7.png)
On remarque au passage que cette probabilité ne dépend pas de
![$a$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/8.png)
![$b$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Concentration-loi-uniforme_c/9.png)
Tag:Variables aléatoires continues
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