Estimation pour la loi géométrique


Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Énoncé du sujet

Soit $n$ un entier naturel et $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique $\mathcal G(1/n)$.
  1. Donner l'espérance et la variance de $X$.
  2. Montrer que $P(X\geq n^2)\leqslant\dfrac1n$.
  3. Montrer que $P(|X-n|\geqslant n)\leqslant 1-\dfrac1n$. En déduire que $P(X\geq 2n)\leqslant 1-\dfrac1n$.



Correction

Correction

  1. Une variable aléatoire $X$ qui suit une loi géométrique de paramètre $p$ a pour espérance $E(X)=\dfrac1p$ et variance $V(X)=\dfrac{q}{p^2}$, avec $q=1-p$.
  2. $X$ étant à valeurs positives de moyenne $n$, l'inégalité de Markov donne, pour tout $a>0$,
    \[P(X\geqslant a)\leqslant \dfrac{n}a\]

    On obtient le résultat voulu avec $a=n^2$.
  3. On a $V(X)=\left(1-\frac 1n\right)n^2=n(n-1)$. On obtient en appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\varepsilon>0$,
    \[P(|X-n|\geqslant\varepsilon)\leqslant\dfrac{n(n-1)}{\varepsilon^2}\]

    Pour $\varepsilon=n$, on obtient le résultat voulu.
    De plus, $X$ étant à valeurs dans $\N^*$, les événements $|X-n|\geq n$ et $X\geq 2n$ sont égaux, ce qui donne la deuxième inégalité.


Tag:VA: inégalités & estimation

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