Application linéaire ? Noyau et image ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
L'application
;
est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
![$f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,1)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2/1.png)
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Correction
ne peut pas être linéaire car
(si elle l'était on devrait en effet avoir
pour tous
et
, en particulier donc pour
…).
Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.
Le noyau de
est vide: pour tout
,
et donc
.
Attention, même si on avait trouvé un noyau réduit au vecteur nul, cela n'aurait pas permis de conclure à l'injectivité de
car elle n'est pas linéaire. Il faut revenir à la définition.
Soit deux couples de
,
et
tels que
alors
![\[\la\begin{array}{ll}
x+y=x'+y' \\
x-2y=x'-2y'\\
1=1\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/16.png)
soit, en soustrayant les deux premières équations,
et donc la première équation donne
.
L'application
est donc injective.
Étudions maintenant l'image: soit
,
alors il existe
tel que
,
![\[\la\begin{array}{ll}
\alpha=x+y\\
\beta=x-2y\\
\gamma=1\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}
x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\\
y=\dfrac{\alpha-\beta}{3}\\
\gamma=1\enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/23.png)
Ainsi, tout
et donc
(qui n'est pas un espace vectoriel).
n'est donc pas surjective, et pas non plus bijective.
Correction
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/1.png)
![$f(0,0)\not=(0,0,0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/2.png)
![$f(\lambda u)=\lambda f(u)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/3.png)
![$\lambda$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/4.png)
![$u$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/5.png)
![$\lambda=0$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/6.png)
Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.
Le noyau de
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/7.png)
![$(x,y)\in\R^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/8.png)
![$f(x,y)\not=(0,0,0)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/9.png)
![$\text{Ker}(f)=\emptyset$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/10.png)
Attention, même si on avait trouvé un noyau réduit au vecteur nul, cela n'aurait pas permis de conclure à l'injectivité de
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/11.png)
![$\R^2$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/12.png)
![$(x,y)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/13.png)
![$(x',y')$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/14.png)
![$f(x,y)=f(x',y')$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/15.png)
![\[\la\begin{array}{ll}
x+y=x'+y' \\
x-2y=x'-2y'\\
1=1\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/16.png)
soit, en soustrayant les deux premières équations,
![$3y=3y'\iff y=y'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/17.png)
![$x=x'$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/18.png)
L'application
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/19.png)
Étudions maintenant l'image: soit
![$v\lp\alpha,\beta,\gamma\rp\in\text{Im}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/20.png)
![$u(x,y)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/21.png)
![$f(u)=v$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/22.png)
![\[\la\begin{array}{ll}
\alpha=x+y\\
\beta=x-2y\\
\gamma=1\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}
x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\\
y=\dfrac{\alpha-\beta}{3}\\
\gamma=1\enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/23.png)
Ainsi, tout
![$v\lp\alpha,\beta,1\rp\in\text{Im}(f)$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/24.png)
![$\text{Im}(f)=\bigl\{ (\alpha,\beta,1)\,;\,\alpha\in\R,\beta\in\R\bigr\}$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/25.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/26.png)
Tag:Applications linéaires
Autres sujets au hasard:
![Lancer de dés](/Colles/des.png)