Application linéaire ? Noyau et image ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
L'application
;
est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
;
est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Correction
ne peut pas être linéaire car 
(si elle l'était on devrait en effet avoir
pour tous 
et 
, en particulier donc pour 
…).
Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.
Le noyau de
est vide: pour tout 
, 
et donc 
.
Attention, même si on avait trouvé un noyau réduit au vecteur nul, cela n'aurait pas permis de conclure à l'injectivité de
car elle n'est pas linéaire. Il faut revenir à la définition.
Soit deux couples de 
, 
et 
tels que
alors
![\[\la\begin{array}{ll}
x+y=x'+y' \\
x-2y=x'-2y'\\
1=1\enar\right.\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/16.png)
soit, en soustrayant les deux premières équations,
et donc la première équation donne
.
L'application
est donc injective.
Étudions maintenant l'image: soit
,
alors il existe 
tel que 
,
![\[\la\begin{array}{ll}
\alpha=x+y\\
\beta=x-2y\\
\gamma=1\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}
x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}\\
y=\dfrac{\alpha-\beta}{3}\\
\gamma=1\enar\right.
\enar\]](/Generateur-Devoirs/Colles/Applin/exAL2_c/23.png)
Ainsi, tout
et donc
(qui n'est pas un espace vectoriel).
n'est donc pas surjective, et pas non plus bijective.
Correction
ne peut pas être linéaire car
(si elle l'était on devrait en effet avoir
pour tous et , en particulier donc pour …).
Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.
Le noyau de
est vide: pour tout ,
et donc .
Attention, même si on avait trouvé un noyau réduit au vecteur nul, cela n'aurait pas permis de conclure à l'injectivité de
car elle n'est pas linéaire. Il faut revenir à la définition.
Soit deux couples de , et tels que
alors
soit, en soustrayant les deux premières équations,
et donc la première équation donne
.
L'application
est donc injective.
Étudions maintenant l'image: soit
,
alors il existe tel que ,
Ainsi, tout
et donc
(qui n'est pas un espace vectoriel).
n'est donc pas surjective, et pas non plus bijective.
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