Application linéaire ? Noyau et image ?
Colle de mathématiques
Sujet de colle de maths:- Applications linéairesApplications linéaires
Énoncé du sujet
L'application
;
est-elle linéaire ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Préciser son noyau et son image. Est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Correction
Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.
Le noyau de est vide: pour tout , et donc .
Attention, même si on avait trouvé un noyau réduit au vecteur nul, cela n'aurait pas permis de conclure à l'injectivité de car elle n'est pas linéaire. Il faut revenir à la définition. Soit deux couples de , et tels que alors
soit, en soustrayant les deux premières équations, et donc la première équation donne .
L'application est donc injective.
Étudions maintenant l'image: soit , alors il existe tel que ,
Ainsi, tout et donc (qui n'est pas un espace vectoriel).
n'est donc pas surjective, et pas non plus bijective.
Correction
ne peut pas être linéaire car (si elle l'était on devrait en effet avoir pour tous et , en particulier donc pour …).Ceci ne l'empêche pas de pouvoir être éventuellement injective, surjective, bijective.
Le noyau de est vide: pour tout , et donc .
Attention, même si on avait trouvé un noyau réduit au vecteur nul, cela n'aurait pas permis de conclure à l'injectivité de car elle n'est pas linéaire. Il faut revenir à la définition. Soit deux couples de , et tels que alors
soit, en soustrayant les deux premières équations, et donc la première équation donne .
L'application est donc injective.
Étudions maintenant l'image: soit , alors il existe tel que ,
Ainsi, tout et donc (qui n'est pas un espace vectoriel).
n'est donc pas surjective, et pas non plus bijective.
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