Limite d'un quotient de differences

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Soit

une fonction dérivable en $x_0\in\R$ .
Montrer que $\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}$ admet une limite lorsque $x\to x_0$ .

Correction

Comme

est dérivable en $x_0\in\R$ , on sait que $\dsp\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-fx_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$ .
De plus, en faisant apparaître ce quotient,

$\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0} =\dfrac{x\Bigl( f(x_0)-f(x)\Bigr) +xf(x)-x_0f(x)}{x-x_0} =-x\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+f(x)$

et ainsi,

$\lim_{x\to x_0}\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0} =-x_0f'(x_0)+f(x_0)$

Tag:Dérivée

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