Exponentielle et logarithme

Colle de mathématiques

Sujet de colle de maths:

Variables aléatoires continuesVariables aléatoires continues

Énoncé du sujet

oral HEC, BL - 2022

Question de cours : Fonction de répartition et densité d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ .
désigne un réel strictement positif. On considère la fonction définie sur par:

$h(x)=\la\begin{array}{cll}\lambda^2xe^{-\lambda x}&\text{si}&x\geqslant0 \\0 &\text{si} &x<0\enar\right.$
1. Montrer que peut être considérée comme la densité de probabilité d'une variable aléatoire .
2. Montrer que admet une espérance et la calculer.
Dans cette question, on considère une variable aléatoire de densité , nulle sur , continue sur et strictement positive sur . On note alors la fonction de répartition de .
1. Justifier que pour tout réel , on a .
  
  On définit alors la fonction par:
  
  $g(x) = \la\begin{array}{cll}-f(x)\ln(1-F(x))&\text{si}&x\geqslant0\\0&\text{si}&x<0\enar\right.$
2. Montrer que peut être considérée comme la densité d'une variable aléatoire .

Correction

oral HEC, BL - 2022 - Exercice avec préparation

La densité d'une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est nulle sur $\R_-$ et a pour expression

$f_U(x)=\la\begin{array}{cll}\lambda e^{-\lambda x}&\text{pour}&x\geqslant 0\\0&\text{si}&x<0\enar\right.$

La fonction de répartition a quant à elle pour expression

$F_U(x)=\la\begin{array}{cll}1-e^{-\lambda x}&\text{pour}&x\geqslant 0\\0&\text{si}&x<0\enar\right.$
1. est une fonction positive, continue par morceaux. Il reste à calculer l'intégrale sur $\R$ de cette fonction.
  On peut soit la calculer directement, à l'aide d'une intégration par parties, ou s'aidant de la question précédente, en utilisant l'expérance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle qui vaut
  
  $\begin{array}{ll}E(U)&=\dsp\int_\R xf_U(x)dx\\[1em] &=\dsp\int_\R\lambda xe^{-\lambda x}dx=\dfrac1\lambda\enar$
  
  On a donc ici,
  
  $\int_\R h(x)dx=\lambda\int_R\lambda xe^{-\lambda x}dx=\lambda\tm\dfrac1\lambda=1$
  
  ce qui finit de montrer que est une densité de probabilité.
2. L'espérance de est alors, si elle existe, c'est-à-dire si l'intégrale converge,
  
  $E(X)=\int_\R xh(x)dx$
  
  On peut là aussi calculer cette intégrale en intégrant par parties, ou utiliser les propriétés de la loi exponentielle, ici sa variance, et la formule König-Huygens:
  
  $V(U)=E(Y^2)-E(Y)^2=\dfrac1{\lambda^2}$
  
  d'où
  
  $E(Y^2)=\dfrac1{\lambda^2}+E(Y)^2=\dfrac2{\lambda^2}$
  
  et alors
  
  $E(X)=\int_\R xh(x)dx=\lambda E(Y^2)=\dfrac2\lambda$
1. est une fonction de répartition, et par conséquent est croissante sur $\R$ . On a plus précisément sur $[0;+\infty[$ , donc est strictement croissante sur $[0:+\infty[$ .
  Comme on sait de plus que $\lim_{x\to+\infty}{F(x)}=1$ , on a nécessairement que, pour tout réel ,
  
  $F(x)<1\iff 1-F(x)>0$
2. D'après ce qui précède, on a que donc $\ln(1-F(x))<0$ et alors $g(x)\geqslant0$ .
  Comme est continue par morceaux, il en va de même pour , par produit et composition de fonctions continues par morceaux.
  Il nous reste enfin à calculer l'intégrale sur $\R$ de .
  On a tout d'abord
  
  $I=\int_\R g(x)dx=\int_0^{+\infty}-f(x)\ln(1-F(x))dx$
  
  On peut alors intégrer par parties, en se rappelant que :
  
  $I=\biggl[-F(x)\ln(1-F(x))\biggr]_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}F(x)\dfrac{f(x)}{1-F(x)}dx$
  
  Le terme intégré est nul car et, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x\to+\infty}F(x)\ln(1-F(x))=0$ .
  On a donc
  
  $\begin{array}{ll}I&=-\dsp\int_0^{+\infty}\dfrac{F(x)f(x)}{1-F(x)}dx\\ &=\dsp\int_0^{+\infty}\lp\dfrac{1-F(x)}{1-F(x)}f(x)-\dfrac{f(x)}{1-F(x)}\right) dx\\ &=\dsp\int_0^{+\infty}f(x)-\dfrac{F'(x)}{1-F(x)}dx+\\ &=\biggl[F(x) + \ln(1-F(x))\biggr]_0^{+\infty}\\ &=1 \enar$
  
  ce qui finit de démontrer que est bien une densité de probabilité.

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